5o8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Considérons la fonction rationnelle de la variable complexe ; = re'", 



n 



(6) Q (a)=n + I _y 



ou 



se' » 



7=1 



_ i+3: + j; i + ,,,+ (a/i+i);" 

 ~ 1+ z + z i + ...+ z" 



= H-2; + 2; ! -H...+ 23" + g r n+|S" +, -l- <7«+2 : 

 & v = V ; (V-=l,-3, »). 



Elle est régulière pour /• < i , et sa partie réelle 



n 



(7) PR[Q(-)]=/n-i r 



[ — a r cos(0 -h 0.,) + r' 1 



V = 1 



est < n -+- i pour r < i . On a donc ( ' ), pour r < i , 



(8) — / 9(0) (i + a.rcosd +. . .+ 2/'" cas/t9)d6 



i r 2 * 



— — / ?(^) [' "+" 2 ''cos9 +. . .+ 2/'" COS/lO + <7„ +1 /-" +1 cos(/i-M)ft +...jdâ 



i r' 51 i r™ 



= — / o>(0) PHro(/t-' 9 )i c/0 < (« + •)— / op(e)rfe = n + i. 



2ttJ ' vV ; 27rJ ' 



En passant maintenant à la limite r = i dans l'inégalité (8), on obtient le 



résultat voulu 



(f(o)Sn -+- i. 

 Pour 



(9) ?*(9) = a- 



( n -+■ i ) h « cos 9 + . . . -+- cos/t 9 



n + i 



n + i 



sin(w -t- i)- 



on a effectivement <p*(o) = n -+- 1, et l'on peut démontrer que ce polynôme 

 de cosinus est le seul polynôme dans l'ensemble des polynômes (3) qui 

 satisfait à la relation cp(o) = n -h i. 



Maintenant, le théorème énoncé sur les polynômes harmoniques se 

 déduit facilement de ce théorème sur les polynômes trigonométriques non 

 négatifs. 



( l ) Ce procédé d'ajouter îles ternies complémentaires convenables se trouve 

 appliqué dans plusieurs travaux de M. Landau sur les séries de puissances. 



