SÉANCE DU 29 SEPTEMBRE I9I.3. DOQ 



.l'ajoute que la fonction rationnelle (6) (dont l'application pourrait 

 sembler peut-être artificielle) s'obtient méthodiquement par la solution 

 d'une équation de minimum, traitée dans un travail de M. Carathéodory 

 et moi ('). En effet, il faut ici chercber un développement harmonique 

 (infini) qui commence par 



1 +2r cos 6 4- ... -+- 2 r" cos n 9 



et dont la borne supérieure pour r<^i est la plus petite possible. Par 

 l'application de la méthode de M. Carathéodory, on obtient que ce mini- 

 mum de la borne supérieure est n -t-i, et que c'est la fonction harmo- 

 nique (7) pour laquelle ce minimum de la borne supérieure est atteint. 



Enfin, je remarque que j'ai développé dans un travail (qui sera publié 

 prochainement) une théorie algébrique générale des polynômes trigonomé- 

 triques, qui se rattache aux travaux algébriques de M. Tœplitz se rappor- 

 tant aux séries trigonométriques. Les résultats de la Note présente sont 

 des corollaires simples de ma théorie algébrique des polynômes trigono- 

 métriques. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les représentations continues 

 des surfaces sur elles-mêmes. Note de H. Tiet/.e, présentée par M. Jordan. 



Désignons par R, R , R,, R 2 , .. . des représentations biunivoques et con- 

 tinues d'une surface S ouverte de connexion simple ( 2 ) sur elle-même. Sur 

 ces représentations on peut énoncer le théorème suivant : 



(rt). Une représentation R , qui n'altère pas un sens donné de S, est une 

 déformation ( 3 ) de S en elle-même, c'est-à-dire. : il existe un passage continu . 

 au moyen de. représentations R, de R à l'identité. 



On peut déduire (a) immédiatement du lemme suivant (b) dont une 

 démonstration détaillée sera publiée ailleurs : 



(b). Etant donné sur S deux lignes simples et continues, /, /', lignes de 



(') G. Carathéodory et L. Fejér; Ueber den Zu.sam.menh.an g der Exlremen von 

 harmonischen Funktionen mit ihren Koeffizienten und iiber den Picard-Landau- 

 sclien Satz [Rendiconti di Palermo, Salz VII, 2 e semestre 191 1, p. 22^ ). 



( 2 ) Ensemble qu'on peut déduire du cercle &* 4- _v î = 1 par une représentation biuni- 

 voque et continue. 



( 3 ) Voir MonatsheJ 'te fur Math. u. Phys., l. XIX, 1908, p. 89. 



