5lO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Jordan, S n'ayant avec la frontière de S aucun point en commun excepté 

 les deux extrémités, qui sont les mêmes pour /et /', il existe une déforma- 

 tion de S en elle-même, pour laquelle tout point frontière reste inaltéré, et 

 qui transforme /' en /. 



En effet, prenons pour S un carré ABCD, ce qu'on peut faire sans 

 restreindre la généralité; soient EF et GH les symétrales de ses côtés, 

 O son centre. 



Soit D une déformation de S, facilement construite, qui, pour les points 

 frontières de S, donne la même transformation que R . Ainsi pour 

 D o , I{„ = R ) , tous les points frontières resteront inaltérés. Soit EaF = /' ( 

 la ligne qui par R, est transformée en la symétrale EF = /,. D'après (/>) on 

 peut construire une déformation D, de S qui transforme /', en /,; et, comme 

 on le voit aisément, on pourra admettre qu'en ce qui concerne /', et /, les 

 deux représentations D, et R { coïncident. Or, par la représentation 

 D^'R, = R 2 chacun des rectangles ABGFOE, CHDFOE est transformé 

 séparément en lui-même. Soient GbO = l' if , OcH = /',., les lignes con- 

 tinues, dont les images par R 2 sont GO = /.,, et OH = / 22 , moitiés de la 

 symétrale GH. Notre lemme(//) donne pour chacun des deux rectangles une 

 déformation en lui-même, par lesquelles l' sl et /',„ sont transformés en l 2t 

 et l 22 . De cette manière il résulte une déformation D;, du carré en lui- 

 même qui coïncide avec la représentation R, pour tous les points frontières 

 des quatre petits carrés en lesquels S est divisé par EF et GH. Autrement, 

 la représentation D~' D, 1 R, = D^'D^'D"' R ne diffère pas pour ces points 

 de l'identité. 



En continuant de cette manière à subdiviser les carrés et rectangles 

 obtenus et à construire des déformations convenables de ces parties de 

 notre carré primitif, nous obtiendrons une suite illimitée D,, D 2 , ..., D„, ... 

 de déformations. D~' D~l, ... D~' R ne différera pas de l'identité pour 

 tous les points d'un réseau de carrés ou de rectangles d'autant plus étroit 

 que n sera plus grand. En passant à la limite on obtient lim D~'... D ' R„= i , 

 c'est-à-dire R est égale à la représentation lim D D,... D„, qui est immé- 



diatemenl reconnue être une déformation. Le théorème (a) est ainsi 

 démontré. 



De(/>)et («) on peut déduire des conséquences variées concernant soit S, 

 soit la sphère, soit une surface équivalente, et les lignes de Jordan fermées, 

 qu'on peut tracer sur une de ces surfaces. Je me borne cependant à 

 quelques mots sur les surfaces de connexion supérieure, soit bilatérales, 



