SÉANCE DU 29 SEPTEMBRE igi3. 5ll 



soit unilatérales. Une telle surface S peut être représentée par un polygone 

 clans le plan, polygone fondamental u, dont quelques côtés sont assujettis, 

 deux à deux, à des correspondances ponctuelles biuiiivoqu.es et continues. 

 Pour introduire alors d'une manière générale pour chaque ligne fermée / 

 tracée sur S l'élément correspondant du groupe fondamental (') G s de S, il 

 est à remarquer qu'une ligne / pourra avoir une infinité de points ou de seg- 

 ments de droite communs avec la frontière de -. Ce n'est pas le cas pour 

 les lignes polygonales tracées sur S, ce qui permet de leur faire corres- 

 pondre immédiatement un élément g du groupe fondamental. Il faudra 

 démontrer le lemme (c) suivant, à savoir : que toutes les lignes polygonales 

 qui se rapprochent suffisamment (~) d'une ligne quelconque l ont le même 

 élément correspondant g, qui correspondra alors à / par définition. Nous 

 énonçons le théorème suivant : 



(rf). Deux lignes de. Jordan fermées, l, /', tracées sur S, qui ont le même 

 élément de G s correspondant, peuvent être transformées l'une en l'autre par 

 une déformation de S ( 3 ). 



Indiquons brièvement quelques lemmes au moyen desquels on obtient 

 immédiatement une démonstration de (d) : 



( /') Un théorème analogue à (d) pour le cas particulier où /, /' sont des 

 lignes polygonales. 



(g). Soient A la région annulaire 1 .r 2 -hy'S-2-, g m l'élément de g n 



correspondant à la ligne médiane m x s +y 2 =(-j ; chaque ligne 



fermée simple consistant tout entière en points intérieurs et correspondant 

 à g m peut être transformée en m par une déformation D de la région A en 

 elle-même. Les points frontières de A restent inaltérés par D. 



Pour chaque polygone simple ferméyj sur une surface S on peut construire 

 des bandes B y) homéomorphes à A, entourant/?, avec deux lignes frontières 

 polygonales, et de manière qu'il existe une représentation biunivoque et 

 continue de A sur B f) , par laquelle m et p soient correspondantes. 



(') Poincaré, Journal de l'Ecole Polytechnique, 2 e série, t. I, § 12 et 13; voir 

 aussi Ens., t. 111, A. B. 3, p. 207; Monatsh. f. M. a. Ph., t. XIX, p. 56 et suiv.; 

 bien entendu / est pourvu d'un sens déterminé. 



( 2 ) C'est par exemple au moyen des notions introduites par M. Fréchet qu'on 

 pourra donner un sens précis à cette expression. 



( 3 ) Le théorème inverse (c), que deux lignes transformées l'une en l'autre par 

 une déformation ont le même élément correspondant de (}$, se déduit immédiate- 

 ment du fait qu'évidemment (c) reste encore vrai lorsqu'on ellace le mol polygonales. 



