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vergence des séries de fonctions orthogonales, j'ai obtenu le théorème 

 suivant, dont les théorèmes connus de Weyl et de Hobson sont des corol- 

 laires : 



Théorème. — Si les fonctions <p»(œ) (« = i, 2, 3, ...) forment un système 

 norme de fonctions orthogonales dans Vinlervalle (a, b), cest-à-dire si 



i [y„(j?)]- d.c = I, / o ln (x)y n (x)dx = 0, /n^zn; 



si, de plus, les constantes réelles c„ sont telles que ^c„ (log«) 3 converge, la 



i 



série ^c„cp„(.r) converge presque, partout dans l'intervalle, {a, b). 



i 



Sans restreindre la généralité de la démonstration, nous pouvons 

 prendre a = o, b = i et considérer les logarithmes à base io. ÎVous intro- 

 duirons les abréviations 



n n n 



s(ic;in,n)— ^ c v ? v (.r), a{m,n)- V d, S(m,n)= V e|(logv) s . 



o>o étant pris arbitrairement petit, soit N = N(o) un indicée 2, tel que 

 S(io N ,^)<S\ 



n étant un entier quelconque >• io N et r un entier tel que \.o r< ^n < io r+l , 

 la première partie de la démonstration établit l'existence d'un ensemble K. 

 de points de l'intervalle (o,i), indépendant de n et de r, sur lequel 

 \s(x] io r ,n')\ < 20. La seconde partie consiste à prouver qu'en tout point 

 d'un ensemble M g, de mesure > i — 190, on a | s (ce; n,n')\<^li%, quels que 

 soient n, ri io\ Enfin, la troisième partie montre que, sur un ensemble M 



de mesure aussi voisine de l'unité qu'on veut, V c n^,A x ) converge uni- 



1 

 formé m en t. 



I. Considérons l'ensemble E (>l (A = o, 1, 2, ..., r) des indices de la suite 

 io r -i- a. io' ( u. = o, 1, 2, ...) qui sont inférieurs à io' +l (r^N) et répar- 

 tissons-les par groupes F^ 1 (/> = o, 1, 2, ... ) de dix indices 



F a : 10' + //.io' 4 -'. io r +A.io Ul +io'', .... io'-h fi.io y+ ' + 9.10'. 



