SÉANCE DU 6 OCTOBRE If)l3. 5/|'3 



communiquer dans des Notes précédentes ('). J'ai établi les théorèmes 

 suivants : 



Théorème I. — Soit une famille (F)rfe fonctions u = ^(z) algébroïdes à 



v branches finies clans un domaine D. Si les fonctions de cette famille ne 

 prennent, dans ce domaine, aucune des râleurs représentées par les points 

 d'une courbe T du plan u (cette courbe est alors exceptionnelle pour toutes les 

 fonctions de la famille dans le domaine. D ), la famille est normale dans le 

 domaine D ; c'est-à-dire : de toute suite infinie de fonctions de la famille 

 nous pouvons extraire une nouvelle suite infinie convergeant uniformément 

 vers des fonctions-limites alsébroïdes et finies dans D ou la constante infinie, 

 dont le nombre total des branches est égal à v. 



Théorème IL — Soit ( F) la famille composée de toute les fonctions m = 0(2) 

 définies par l'équation 



f(z. u ) = «' + A, ( : ) i^-' + A 2 ( 3) u'-- -+- ... -h A v _, 1 ; ) 11 h- A., (>) = p, 



où les A,( s), A 2 (z), . .., A.,( s) désignent des fonctions holomorphes dans le 

 voisinage de z =0, 



(2) 



A. 1 (s)=^fl, -r />,: +. . 



\ , | 3 1 n h fr s Z -H. . 



A v ( ; ) = «., ■+- 6 v s + . . 



les coefficients a i, b,, a.,, b 2 , ..., a.,, b., et le degré v étant fixes, tandis que 

 tous les coefficients non écrits sont des paramétres variables, et considérons 

 deux autres nombres quelconques a et b tels que 



a' -\- «, <7 V_1 -t- (i,(i''" ; -+- . . . -h a v fc| « v— ' -t- 6 2 tt v_:i -f- . . . -+- 6 V 



6 V -H rt, //'"' -+- a, b'-* 4- . . . -+- ri., '■ b\ //'-' + b. //' - -+- ...-+- Ô v 



&' ce point z = o n est pas un point d'intersection des branches (c ' est-a-dire 

 l'équation x v -+- a, .r' -1 -+- a., x v ~ 2 . . . -+- a., = o n'a pas des racines multiples ), 

 il existe un cercle 



[3 1 '<cft = it( v. «i, /',. «î, 63, .... 11,. /',. a. b), 



(') Le théorème de M. l'icruit el tes Jonctions multiformes (Complet rendus, 

 t. 155, 2 e semestre 1912, p. 818-820 et i">o.2-i5g,5) ; Sur les familles de fonctions 

 algébroïdes (t. 15G. i er semestre r 9 1 3. p. 862-865) et Sur les séries et les familles 

 de fonctions algébroïdes dans un domaine, p. ii^i-ii m- 



Voir aussi : Le théorème de M '. Picard el les fonctions multiformes (Rendiconti 

 del Circolo matematico di Patermo, t. XXXV, i' 1 ' semestre i<)i3). 



