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dont le. cercle est fixe ne dépendant que des nombres v,a,,b,,a i} b 2 , ..., « v , b.,, 

 a, b |et nullement des paramètres variables des séries (2)] à Vintérieur 

 duquel toute fonction finie de la famille (F) ou bien admet un point singulier 

 transcendant, ou bien prend au moins une fois une des valeurs représentées par 

 les points de toute courbe du plan u joignant le point a au point b. 



Le résultat analogue au théorème I et concernant les familles de fonc- 

 tions holomorphes dans un domaine D est établi par M. P. Montel dans 

 son important Mémoire récemment publié [Sur les familles de fonctions 

 analytiques qui admettent des valeurs exceptionnelles dans un domaine 

 {Annales de VÈcole normale supérieure, t. XXIX, novembre 1912, p. 4°4- 

 49G)]. Quant au théorème II, c'est visiblement dans le domaine du célèbre 

 théorème de M. Picard et dans la direction ouverte par M. Landau. 



2. Pour les fonctions ayant une infinité de branches, j'ai établi les 

 résultats suivants qui complètent ceux de M. Boutroux publiés dans ses 

 travaux : i° Fonctions multiformes à une infinité de branches (Annales scien- 

 tifiques de l'Ecole normale supérieure, 3 e série, t. XXII, 1905, p. 44 1 -469); 

 2 Sur les fonctions-limites des fonctions multiformes (Rendiconli del Circolo 

 matemalico di Palermo, t. XXI V, 1907). 



3. Soit y(z) une fonction ayant une infinité de branches dans le voisi- 

 nage d'un point s et soit (E) un ensemble de branches y(z) algébroïdes 

 dans ce voisinage de :■ = z , dont chacune ne puisse se permuter qu'avec 

 v — 1 au plus autres branches. On peut en extraire une suite infinie de 

 branches convergeant uniformément vers des fonctions-limites (branches- 

 limites") qui sont toutes algébroïdes dans le voisinage de z = z ou vers la 

 constante infinie. Il faut seulement supposer que le point z ne soit pas un 

 point d'indétermination complète de la fonction donnée j (s); il faut qu'il 

 existe au moins une ligne qui n'appartienne pas au domaine de l'indé- 

 termination dans le voisinage de z = z de la fonction y (s). 



4. Si chaque branche de l'ensemble (E) se permute avec v — 1 autres 

 branches dans le voisinage du point z et si, en une infinité de points z 

 tendant vers le point s comme point-limite, l'ensemble dérivé de l'en- 

 semble ( E) a au plus v valeurs, il en est de même dans tout le voisinage du 

 point -„ et l'ensemble ( E) convergera uniformément dans le voisinage de s 

 vers des fonctions-limites (branches-limites) algébroïdes et finies dans le 

 voisinage de s , dont le nombre total de branches est égal à v. 



Le point ; des théorèmes ci-dessus énoncés appartient à l'ensemble 



