SÉANCE DU l3 OCTOBRE I()l3. 57 1 



i° Researches in Magneto-optics, by P. Zeeman. 



2° Le tremblement de terre de P/ombières-Remiremont ; contribution à 

 l'histoire des phénomènes sismiques en France, par Alfred Uhry. 



3° E. Doyen. Traite de thérapeutique chirurgicale et de technique opéra- 

 toire, 5 volumes, 1908-1913. 



4° Le Volume jubilaire de la Société royale de Botanique de Belgique. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les polynômes trigonométriques. 

 Note de M. Lkopoi.d Fejér, présentée par M. Emile Picard. 



1. Considérons une fonction réelle quelconque /"(&) de la variable 

 réelle 0, intégrable et non négative dans l'intervalle o<G<2Tt. Soit 



(1) /(0) = H-a, cosfl + b, sin6 -+-. . . + rt„cos« 8 + b n sin/iô -+-... 



sa série de Fourier. Alors, en désignant par s„(()) la somme des premiers 

 n -+- 1 termes de cette série, on a (') 



(2) s„( d)% 2/1 + 1 pour oS9^2Ti. 



Il n'est pas possible d'améliorer cette limite 2/1 H- 1. En effet, pour 



1 a 2 



= i + 2flcos9 + ...+ 2a" cos nQ ->r. . . ( o < a < 1 ) , 



1 — 2« cos9 -+- a 2 



on trouve s„(o) = i + 2a + ... + 2a" ; donc, en eboisissant le nombre a 

 assez voisin de 1 , on obtient pour s n (o) une valeur arbitrairement voisine 

 de in ■+■ 1. 



2. Soit maintenant 



(3) ©(9) = 1 -+- (?i cosO + />, sin 9 -K . .+ c/„ cos/; 5 + />„ si 11 /; 9 



un polynôme trigonomélrique quelconque au plus égal à n, non négatif 

 dans l'intervalle o5 05 2u. Dans une Note précédente, intitulée Sur les 

 polynômes harmoniques quelconques, j'ai montré qu'en modifiant convena- 

 blement le procédé de démonstration servant à démontrer l'inégalité (2) 

 pour l'ensemble des fonctions non négatives intégrables, on obtient pour 



( ') On a de plus 



|* n (0)|<2« + I. 



