572 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



un polynôme (3) quelconque 



(1) ip(o)<n + i, 



où n -+- 1 est la vraie limite supérieure de 9(0). 



Voici une démonstration nouvelle et directe de ce théorème. Elle suit un 

 chemin peut-être moins naturel, mais elle est très simple et élémentaire. 



Soit 



(5) 



e*=* 



(k = o, 1, 2, ..., n). 



En remplaçant les valeurs o ,0,, . ..,0„ dans l'équation (3), en addi- 

 tionnant, on obtient, en vertu des relations 



2/ "7t 



2 /.' - 



V 1 2A7T V~l • 2 AT 71 , . 



7 COSV = O, 7 SI 11 V =0 (V = I , 2. . . . , Il ), 



^J // -1- I .— Il -+- I 



l'égalité 

 (6) 



9(o) + <p(0,)- 



<?(#«) = " + '• 



Mais le polynôme 9(0) étant partout non négatif, les lermes du premier 

 membre de l'équation (6) sont non négatifs. On en conclut l'inégalité 

 voulue 



(4) <p(o)<«4-i. 



La supposition 9 (o) = n -+- 1 entraîne 



<p(9i) + (f(6 1 ) + ... + <f(6 n ) = <y } 



donc, les valeurs 9 (0,), . . ., ç(ô„) étant non négatives, 



T (fi 1 ) = q.(fl 1 ) = .-. = T(9») = o. 



Les valeurs 0,, 2 , ..., 8 n sont donc des zéros de 9(0), et parce que le 

 polynôme 9(0) doit être non négatif, chacune d'elles doit être un zéro 

 double de 9(0). 



On a donc les 'in zéros du polynôme trigonomélrique 9(0) d'ordre au 

 plus égal à n, dont on connaît en outre son terme absolu 1. Il est donc 

 parfaitement déterminé, cl l'on obtient 



(5) ?„(0) = 



sin (n 4- 1 )- 

 2 



sin — 

 2 



( n -+- 1 ) -i- n . 2 cos 9 + . . . -+- 2 cosn 6 



