SÉANCE DU 1,3 OCTOBRE IÇ;l3. 5^'i 



C'est donc le seul polynôme de l'ensemble (3) des polynômes trigono- 

 métriques non négatifs d'ordre au plus égala n, pour lequel, dans (4), c'est 

 le signe d'égalité qui est valable ('). 



3. Si 'f(O) appartient à l'ensemble (3), le polynôme trigonométrique 

 <!>(/) = o(0 + t) de l lui appartient aussi. L'inégalité (4), appliquée à $(/), 

 fournit 



(6) ip(0)5« + I pour 0$9527T. 



Lorsque c'est le signe d'égalité qui est valable ici pour un 9„(ô) de l'en- 

 semble (3) et pour = o , on a ?„(0) = cp„(0 — o ). 



4. Soit 



F(9) = «, cos5 -+- b, sin 9 -t- ...-+- a n cos«0 + b n sin «6 



un polynôme trigonométrique quelconque d'ordre au plus égal à n, ayant 

 le terme absolu zéro. Soient M le maximum, — m le minimum de F(0) pour 



o<0 5 2 7t. (On a M, »i>o). Alors + " ' = i -+- . . . appartient à l'en- 



semble (3). Donc, en vertu de (6), on a — ^ -"Sn-hi, pour o<05a 

 En posant ici pour une valeur, pour laquelle cp(0) = M, on obtient 



5n-+-i, c'est-à-dire Mlîn.m. Un raisonnement semblable fournit 



m 



mSn.M. Nous avons donc obtenu le théorème : 



La hauteur (c'est-à-dire la valeur M) a" un polynôme trigonométrique quel- 

 conque d'ordre au plus égal à n 



«, eus 9 -+- bi sin 8 + . . . ■+■ a n cos/iO -+- b n s\nn6 



est au plus n fois plus grande que sa profondeur (c'esl-à-dire la valeur m), 

 et réciproquement. Ce sont seulement les polynômes, dépendant de deu.x cons- 



(') Je crois que cette propriété de maximum du polynôme (5) rend aussi un peu 

 intuitif mon théorème sur les moyennes arithmétiques 



s a (8 t ) = ±-f /(9)<p B (e-0 a )rf0 (» = o, i,2, ...), 



de la série de Fourier d'une fonction intégrable quelconque/(Ô). 



