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tantes réel/es quelconques oc, (3, 



- ( n -4- i ) i = a a [ n cos ( 9 — (3 ) -+- . . . -4- cos n ( — (3 ) ] , 



siu ( « H- i) ■ 



. &-£ 

 sin — 



2 



/>OH7* lesquels une des égalités M = «m, m = nM«/ satisfaite. 



5. Le théorème, énoncé dans ma Note précédente sur la partie réelle 

 d'une fonction rationnelle entière quelconque de degré n de la variable 

 complète z, s'ensuit très facilement de ce théorème sur les polynômes trigo- 

 nométriques. Je remarque encore que la méthode élémentaire de la Note 

 présente .s'applique aussi pour établir certains résultats analogues relatifs 

 aux polynômes ou séries de la forme 



a + 2(<z V( cosv A . 9 -+- fr Vl sinv*d), 

 où v, , v. 2 , ... , v A , . . . sont certains nombres entiers. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une propriété des racines des moyennes 

 arithmétiques d'une série entière réelle. Note (')de M. Michel Fekete, 

 présentée par M. Emile Picard. 



Soit 



f(x) = a lt + «,.r + a 2 x'- -+-... + a„x n -\- . . . 



une série entière à coefficients réels, convergente pour \a-\ < p. 

 Posons 



f u {a>) = ao+aiX+. . .+ a :l x". 



Soit £(o<|£Kp) une racine réelle de f(x) = o, d'ordre de multiplicité k. 

 D'après un théorème connu de M. Hurwitz {Math. Anna/en, 1887), le 

 cercle \x — \\ | < contient pour (0 >■ o) suffisamment petit et n > N (0) 

 précisément A' racines de l'équation 



L'hypothèse relative à la réalité des coefficients a n assure que ces racines 

 de fn(x) sont, soit elles-mêmes réelles ou bien complexes conjuguées 



(') Présentée clans la séance du 6 oclobre 1913. 



