SÉANCE DU l3 OCTOBRE 1913. 575 



deux à deux. En considérant les courbes réelles y=f(x), y = f n (x), on 

 voit aisément que, à partir d'une certaine valeur de n, le nombre des 

 racines réelles de /„(&•) au voisinage de \ est de la même parité que /'. Il 

 s'ensuit qu'une racine simple de f(x) est limite de racines simples et réelles des 

 fn ( x )- P ar contre, si l'ordre de multiplicité du zéro réel \ est pair, il peut 

 se faire que (1) n'ait aucune racine, réelle au voisinage de \, pour une suite 

 infinie de valeurs de n, comme le montre l'exemple suivant que je dois à 

 l'obligeance de M. Lindwart : 



j\x) — — _ 3 —i — ^jc + ^ ! +j' — 4^-f- 4^ 5 -t-- . ., 



Le but de cette Note est de montrer qu'en prenant, au lieu des sommes 

 partielles 



leurs moyennes arithmétiques de Cesarô, on obtient des suites de poly- 

 nômes qui convergent uniformément vevs/(x) dans toute aire intérieure 

 au cercle de convergence et telles que les termes de chaque suite, à partir 

 d'un certain terme, ont k racines réelles au voisinage de E. 



Les moyennes arithmétiques d'ordre r(r = 1, 2, ...) de la suite (2) sont 

 définies par les formules 



(-;:: ■)/..» h- (■;:; •)/,(.) + - + (;:;)/. w 

 /. ( >- ^ 



On a 



rt 3 («4-i) (« +2). . .('i + rj + a, «(« + 1).. .(n + r — i)x-\-. ..-><- r' a n x n 



(3) /i'V) = 



:(-.)'■ 



(n + i)(«+2)...(/H-r) 



e\r-w< 



(« + i)(n-t-2)...( 



«+;) dx r [ .c" +1 J « -+- r dx [_ x" +r 



C'est précisément la dernière partie de cette formule qui m'a permis 

 d'établir le théorème suivant : 



Soit f(x) = > a n x" une série entière à coefficients réels convergente pour 



a? | < p ; et !; (o < | £ | < p) une racine réelle de f(x) d'ordre de multipli- 

 cité k; alors f% ] (.r) aura pour chaque r fixe et >k - - i exactement k racines 

 réelles et distinctes qui tendent pour n infini vers \. 



