576 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour le démontrer, je considère le développement, valable pour 



k|<-p, 



<pO)== 



-?) 



: cXd 4- «, x 4- . . . 4- a„ a;" -h a n+1 #" +1 4- . 



La fonction à gauche a ç pour racine simple. Par conséquent, ç„(a?) 

 aura aussi une racine réelle simple au voisinage de <;, pour n suffisamment 



grand, donc ( 1 — j) 9«(# ; ) y aura k racines réelles (non nulles). 



De l'identité 



/„(.i') + «„ +1 .r" + ' + fl„ +! .r" +J + ...= |[~yj' ?„(.*•)+ (l-|Y \oc„ +i x"+ l +...). 



on tire 



(4) 



? 



?»(•*•)=/„(*) + -Z" +1 S-«(.2-), 



g n (x) étant un certain polynôme de degré k — 2. On a donc pour 

 ]ar|<;p'<p uniformément 



lim.z-"+' g n (x) = I 1 — - limcp„(j?) — lim/„(x) = o. 



rt=oo \ Ç / n=: oo n—00 



La dérivée d'une fonction qui tend uniformément vers zéro tend elle-même 

 vers zéro ; de ce fait on déduit successivement 



(5) 



„ = »(" +2). . . (« 4- /, — l) 



D'après (3), (4), on a 



x" + - d 



h + 2 ete 



y I ?«(«■) 



=/i"(*) 



-.-;,(.'■). 



Le polynôme à gauche a au moins k — 1 racines réelles dans le voisinage 

 de \ (c'est une conséquence du théorème de Rolle) et tend vers /(ce) 

 d'après (5). Par conséquent, pour n suffisamment grand, le nombre des 



