SÉANCE DU l3 OCTOBRE I()l3. 577 



racines réelles au voisinage de \ sera = £(mod 2). Ce polynôme a donc 

 au moins k racines réelles au voisinage de \ ; niais il ne peut pas en avoir 

 plus, d'après le théorème de M. Hurwitz. Il a donc exactement /• racines 

 réelles au voisinage de \. 



On conclura de même que tous les polynômes 



r n+i rf V f^U x \ "' (x\~\ x" +3 



n + 3dx[ x»+* n + i\~ Jn W + *"* '(m-aKiH-3)' 



WW | Sj&Ù ~\- f m, x) _„», x) fil! , 



x »+* ^ (rt + 2 )(„ + 3)J ~ J " ^ ' *»* '(m-a)(»+3)(inr4) 



/* -f- 4 dx 



«■+- k dx L x n+ *- 1 ( ' («-t-.2)...(/t + k— i)J 



=/*-"(*) + 5l^ 1, (*); 



„«+* 



(»-t-2). ..(« + £) 



=/r"u-), 



ajB+A+i ^ f/A** 11 (x)~ 



11 -+- k -+■ 1 f/j' 



PW =/*"<*>. 



rt H- /• + 1 do; L a" + ' 



ont exactement A racines réelles au voisinage de :;, pour n suffisamment 

 grand. c. o_. f. d. 



On voit aisément que les k racines en question sont toutes distinctes. 



J'ai obtenu des résultats analogues pour les séries de Dirichlet en 

 prenant, au lieu des moyennes de Cesarô, les moyennes typiques de 

 M. Marcel Riesz. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la forint' canonique des équations algé- 

 briques. Note de M. IV. Gustueb, présentée par M. Hadamard. 



1. Nommons l'ensemble composé de / monômes du degré n 



(1) • x*'xïi*. . .x*;>, «i + Olj-h ... +«,« = «. -. 



font à l'une des inégalités 



norme, si les exposants de chaque monôme entrant dans l'ensemble satis- 



«III < $m, 



«;n-l + «111 < P//1-1 +P/H, 



{ «, + ... 4- «„, < J3j + ...-+- (3„ 

 C. R., 1913, a- Semestre. (T. 157, N» 15.) 77 



