SÉANCE DU l3 OCTOBRE IO,l3. 58l 



Envisageant le terme m(t) f ^j^-dx comme une fonction F | |/(t), t] \ 



de M. Volterra, on peut dire que la différence entre la demi-force vive et 

 l'énergie potentielle à un instant quelconque t dépend de l'instant t et de 

 toutes les valeurs prises par le potentiel dans l'intervalle (t„, t). 

 L'équation (i) est intégro-différentielle non linéaire en r(t) : 



(%{+$-*-*&* *r m* 



Jt. r ^ 



En la regardant comme cas limite d'un système infini d'équations diffé- 

 rentielles, partageons l'intervalle (t ,t) en n intervalles et envisageons le 

 système d'équations différentielles correspondantes : 



(3) ( -t- H Ç^ — - = h — 2 > — - — ol s (i = o, i. ...,«). 



v ' \dt),. r"-(t,) r{ti) Ai r{t,) 



1=0 



C'est l'ensemble discret des équations différentielles des trajectoires oscula- 

 trices aux instants l , t t , . .., t n . L'opération §1 est analogue à celle du calcul 

 ordinaire des variations. 



Toute équation (4) est intégrable par la méthode classique : 



r k (6)= ,X(t ' } = (' = o,i, 



y/ 1+ m[i--iffi*] 



cos(0-0,,) 



En faisant augmenter indéfiniment le nombre des intervalles ot h chacun 

 d'eux tendant vers zéro, on a à la limite l'équation de la conique oscula- 

 trice à l'instant t : 



_£!_ 



=F= - , + e (Ocos(9-0 ( )' 



i -I- 



v //,+ ^h a X'^ rfr ] C0S(S " 9 ' ) 



est la longitude dans la conique osculatrice, @ t est la longitude du péri- 

 hélie. Les valeurs de e(t) et Q c dépendent de l'instant t et de toutes les valeurs 

 du potentiel dans l'intervalle (/„, l). La conique (4) est une ellipse, parabole, 

 hyperbole, suivant que la fonction (que nous appelons des forces vives) 



(5) H (0=A- 3 jC'^<fcfo. 



