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L'étude de cette fonction permet d'établir toutes les propriétés du mou- 

 vement. On trouve aisément pour le sens de variations des éléments oscu- 

 lateurs successifs à un instant / : 



p(t). H(l). e(t). a(t). «,. f-moy. 



f.i(0 croissant décroissent [pour H(<) > o] décroissent croit 



fjt(f) décroissant croissent [pour H(/) < o] croissent décroît 



II. a. Pour u-(l) croissant (décroissant), si, à un instant, la conique oscu- 

 latrice est une ellipse ou parabole (hyperbole ou parabole), en tous les instants 

 successifs elle sera toujours elliptique (hyperbolique). En outre, si les condi- 

 tions initiales sont telles qu'on ait H (t, ) > o [H (t, ) < oj, dans les instants 

 successifs à t t la conique (t\) peut devenir parabolique et elliptique (parabo- 

 lique et hyperbolique). Cela résulte évidemment de (5) et du Tableau plus 

 haut. 



p. Si \>. (l) pour l = oc tend vers oc (vers zéro ) et r admet une limite supé- 

 rieure (inférieure) R, on a limr=o (sous certaines conditions initiales 



i— » 



lim r = oo). On le démontre aisément en remarquant que le corps à l'instant 



/ = go 



/ = co décrira la conique osculatrice limite et discutant ainsi l'équa- 

 tion (4). 



y. Si, à un instant donné t {f la conique osculatrice est une parabole ou 



ellipse, et lim u.(t) = ao, il en résulte limr(/) = o. 



(= « /=» 



En effet, si e(l,)^i , on a (cf. a) toujours e(t) < i et lime(t) <[ i ; alors 



/ = =0 



la distance aphélie de la conique osculatrice limite tend vers zéro et 



a fortiori lim r ( / ) = o . 



( = « 



III. Le rayon vecteur r r (9) de la conique osculatrice (4) est égal à la 

 distance /•(/) évidemment pour = 0, -t- r ~(t) |où &(f) est liée au temps 

 par l'équation des aires]. Or, il est préférable d'exprimer e(t) en fonction 

 seulement de cosS(z) et d'éléments connus, et l'on obtient, en résolvant 

 une équation fonctionnelle, 





/ (/'(t)cosS' 



!{t„)ti{t a )~ / j//(r)cosar(r)<* 



cos&(£) 



p.(t) 



Pour \J-(t) croissant (décroissant), r excentricité des coniques osculatrices 



