63o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



d 2 y 

 moment à l'équation -^- i -h~kk(x)y(x) = o et aux conditions aux limites 



y(o) = y(iz) = o, j'ai obtenu quelques résultats qui, dans le cas de k(x) 

 continue quelconque, sont évidemment plus simples et plus étendus que les 

 résultats fournis par les autres méthodes connus, particulièrement par la 

 méthode de M. Stekloff. (Comparer la Note de M. Tamarkine, Comptes 

 rendus, IQI3, p. i 589-1.^91 .) En me réservant le développement de ma 

 méthode pour des travaux ultérieurs, je me permets de signaler ici une 

 application nouvelle de la notion des fonctions d'une infinité de variables 

 qui joue déjà un rôle fondamental dans ma Note citée plus haut. 



Soit T un domaine borné, limité par des courbes fermées analytiques 

 S,, ...,S,„, dont la totalité sera désignée par S. Soit P(jv, y, u) une 

 fonction réelle, continue avec ses dérivées de deux premiers ordres et satis- 

 faisant aux inégalités 



(>) 



P(^,J, «)>o, 



ou 



<A, 



(A = const. finie), 



£P<*,*«) 



<A 



pour (x,y) dans T et sur S et pour toutes les valeurs finies de u. Proposons- 

 nous de déterminer une fonction u(x,y) continue avec ses dérivées de deux 

 premiers ordres dans T et sur S, s annulant sur S et telle que V intégrale 



vjw+fêy+^H"* 



soit minimum. 



Soient d la limite inférieure des valeurs de I et u n (x, y) une suite mini- 

 sante 



(2) ff[{^) t +{^y +p{ *' y ' un) ] a * dy - d " j2i rf "- A 



Soient W;(x,y) (i = 1,2,...) les fonctions fondamentales orthogonales 

 et normées de l'équation -r—; -t- -t-j + Am = o s'annulant sur S et 

 soit A,->o la valeur du paramètre A appartenant à Wi(x,y). Rappelons 

 que chaque fonction <p(a?,_y) continue avec ses dérivées de deux premiers 

 ordres dans T et sur S, peut être développée en une série uniformément 

 convergente 



(3) <j>(.r, .y) =2 "',•(.*, y) / / <p(ç, ï))«v(t, n)didn —^ ^ w t (x t y). 



La série ^TT est conver g enle ) ' a série "S r-j [«^(a;,^)] 2 est uniforme- 



