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cédant suivant les fonctions w t {x,y) qui rendrait l'intégrale I moindre 

 que d. Les valeurs G,- satisfont aux équations 



(.2) a^+-4= N(l) ( fl i» fl »'-") = (1 = 1,2,...), 



(i3) N«(é„ *„...) = lin» f f-^-P(-r,y,: tp, )^ i (.T,y)dxdy, 



apparaissant comme une conséquence des équations (io) et (n). Les fonc- 

 tions N (/) sont totalement continues. En partant des équations (12) on 



démontre que —L représentent les coefficients de Fourier d'une fonction 



u(x, y) continue avec ses dérivées de deux premiers ordres dans T et sur S 

 et s'annulant sur S qui satisfait à l'équation 



d ï u à' 2 u t à ... . 



et constitue une solution du problème des variations posé. 



La méthode exposée ci-dessus est susceptible de nombreuses applica- 

 tions. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la série de Lap/ace. 

 Note de M. François Lukacs, présentée par M. Emile Picard. 



Soit/(S, <p) une fonction sommable (absolument intégrable) des coor- 

 données sphériques 5, <p et 



(L) Z^îfir 1 f f" t /( &, -?') p «( cos 7) sinS ' dy <¥< 



sa série de Laplace ('). M. Fejér a démontré que les moyennes arithmé- 

 tiques d'ordre deux de la série (L) sont convergentes en tout point de 

 continuité de /(S, cp); en outre qu'elles sont toutes, en n'importe quel 

 point, comprises entre les bornes supérieure et inférieure de la fonction 

 /"(&, ©). En ce qui concerne la propriété de convergence, M. Haar a trouvé 

 que pour la série de Legendre [cas où /($, ç) ne dépend pas de cp], ce sont 



(') P„(cosy) est le polynôme de Legendre du degré n et 



cosy r= cosô cosÔ' h- smS smS' cos(cp — <p'). 



