SÉANCE DU 20 OCTOBRE IC)l3. 633 



déjà les moyennes arithmétiques d'ordre un, qui sont convergentes en un 

 point de continuité, situé à l'intérieur de l'intervalle (o<2t<t0. Enfin, 

 dans un beau travail récent ('), M. F. -H. Gronwall a établi le théorème 

 suivant (comprenant celui de M. Haar) : 



La série (L) est sommable par le procédé des moyennes arithmétiques du 

 premier ordre en tout point (S, <p) où la fonction f '(â , f) est continue. 



Ce théorème de M. Gronwall, je le peux démontrer d'une manière plus 

 simple, en m'appuyant seulement sur les faits très connus suivants : 



(1) s„(cos&) = -P -t- -P,(cos2r) +...+ P„(cos&) 



2 2 2 



_ n -+- 1 P„(cosS) P„ + ,(cos&) 



2 I -(- COS^ 



(2) |P„(cos&)|<i, 



(3) |P„(cosS)|< Cl (»). 



Sans nuire à la généralité nous supposons S = o, <p = o. D'après (1) la 

 rt ieme m0 yenne arithmétique de (L) au point (o, o) est 



4tt J J„ ' /v ,T ' l-COSJ 



OÙ 



(4) U (I (cosSr)=— L- 2]P*(cos&). 



k = o 



M. Gronwall démontre en quelques lignes, en n'utilisant que (2) et (3), 

 que cette quantité converge vers /(o, o), après avoir établi que la 

 constante de Lebesgue du premier ordre 



°'"~^i i 



< 



: U„(cos2r)-P„ +1 (cos&) 



1 — cosâ 1 



U„(.: -P„ +1 0) 



sinS (fz dy 



dx 



reste bornée quel que soit n. C'est en ce point capital, que je substitue à 



(') Ueber die Laplacesche Reihe (Malhematisclie An/ialen, Band 7k, Heft 2, 

 p. 213-270). 



( 2 ) Les C!,c 2 , ..., c 6 sont des constantes convenables. 



