634 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



l'analyse de M. Gronwall un raisonnement essentiellement plus court et 

 plus élémentaire. 

 On a d'une part 



i_ U„U-) — P„ + i(.r) _ s„+ StÇa:) -h . . . -h s„( .r) _ 



2 I — ÇC H+l 



d'autre part de ( 2) il résulte 



I*«(*) ! = - + - + ■• -h —<("-)- Oi 



donc 



1 u„(*)-p b+1 0) 



<(« + i) 2 , pour — iîxl+1, 



et nous obtenons 



(.) ■■ = ;/ 



V n (x)-P n+l (x) 



dx < 



(« + ») 



(«-r-l) ! =4» 



En vertu de (2), (3) et (4) 

 |U.(*)|<i, |U„(»|< 

 par conséquent 



\J n H- 1 \J 1 — x' 2 



pour 



1 <^-<+ 1, 



(6 





'" + "'lUn(^)- P n +,0) 



< 



V 



n -\- 1 J (1 — as) k ^/ 1 — , 



1 



< 



sf 



et 



(7) 



« + «''.. (,_ a,)T y/"-r> L(i— Jf)'J. 



*>*t 





c/j- 



< 



Les inégalités (5), (6) et (7) donnent immédiatement 



o<p„ = I,-+- Ij-f-I 3 <c 6 - C*Ç. F. D. 



Je suis parvenu aussi au théorème suivant qui semble nouveau : La 

 série (L) est sommable (dans les conditions énoncées ci-dessus) par les moyennes 

 arithmétiques d'ordre — r- £ (e ]> o) ( ' ). 



(') MM. S. Chapman et M. Riesz ont considéré les premiers les moyennes d'ordre 

 fractionnaire pour la série de Laplaee. 



