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toires sur lesquelles les n corps se choquent avec des vitesses infinies; les 

 seconds de ces développements convergent si l est assez grand, et repré- 

 sentent des trajectoires qui s'éloignent à l'infini, les vitesses tendant vers 

 zéro. Ces deux sortes de trajectoires généralisent respectivement les trajec- 

 toires avec chocs et les trajectoires paraboliques du problème des deux 

 corps. Lorsque t tend selon le cas vers zéro ou vers l'infini, la figure formée 

 par les n corps tend vers une figure-limite semblable à la figure x t = a,, 

 v,= P,-, z £ =Yj, et, par sufte, à une figure dans laquelle la résultante des 

 attractions exercées sur chacun des corps par les n — 1 autres a pour 

 extrémité le centre de gravité. 



Par extension la méthode précédente donne des trajectoires sur les- 

 quelles quelques-uns seulement des n corps se choquent. Ainsi, quel que 

 soit /!, les équations différentielles du problème des n corps sont satisfaites 

 par des séries entières en t' telles que pour / = o les différences x. 2 — x,, 

 y 2 — v n : 2 — -1 s'annulent à l'ordre f. Sur les trajectoires correspondantes, 

 quand t passe par la valeur zéro, les deux corps (.r,, y,, s,) et (a? 2 , y 2 , s 2 ) 

 se choquent, l'orbite de chacun d'eux présente un point de rebroussement ; 

 tandis que les n — 2 autres corps sont isolés et ont des vitesses finies 

 et continues. M. Sundman a obtenu de tels développements en t 3 dans le 

 problème des trois corps au moyen d'un changement de variable; et ce 

 changement de variable, ou celui de MM. Levi-Civita et Bisconcini, per- 

 mettent de démontrer (') que réciproquement, si n — 2 des corps finissent 

 par être isolés quand / tend vers zéro, et si la distance des deux autres 

 tend vers zéro, les coordonnées admettent des développements de la forme 

 indiquée. Ces développements dépendent de Gn — 8 constantes arbitraires, 

 tandis que l'intégrale générale du problème des n corps dépend de 6n — G 

 constantes (dans le mouvement par rapport au centre de gravité); par éli- 

 mination des constantes entre les développements obtenus, on peut former 

 les deux conditions nécessaires pour le choc de deux corps. 



M. Sundman a démontré (-) que dans le problème des trois corps, pour 

 que les trois corps se choquent, il est nécessaire que le mouvement soit 

 plan, et qu'au moment du choc, les trois corps tendent à former un triangle 

 équilatéral, ou à se placer en ligne droite, les distances et les masses 



(') Sundman, Acta mathematica, t. XXXVI. — Levi-Civita, Annalidi Matemalica, 

 3° série, t. IX. — Bisconcini, Acta niathemalica, t. XXX. 



( 2 ) Sundman, Acta Societatis Scientiarum Fennicœ, t. XXXIV. 



C. K., i 9 i3, 2- Semestre. ( f. 157, N- 17.) ( J 2 



