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vérifiant une certaine relation. Dans le cas où la figure-limite est le triangle 

 équilatéral, et si l'on considère le mouvement plan qui dépend de 

 huit constantes, la méthode indiquée donne des développements dépen- 

 dant de cinq constantes, et qui sont des séries entières par rapport aux 



trois variables (') t 3 , t r <, * r », r, et r., désignant les racines supérieures 

 des deux équations 



9 ( ' r) — i =± 3 



\/l(m l -h /?? 2 -H w 3 ) 



Les exposants r, et /•■> dépendent donc des rapports des masses, et, s'ils 

 ne sont pas des nombres rationnels avec dénominateurs impairs, les trajec- 

 toires obtenues ne comportent pas de prolongement analytique réel après 

 le choc. La méthode indiquée donne, comme résultat complémentaire, des 

 mouvements dans lesquels les trois corps s'éloignent indéfiniment et 

 tendent à former un triangle équilatéral, ces mouvements dépendant de 

 neuf constantes au lieu de douze. 



La recherche des trajectoires sur lesquelles les trois corps tendent à se 

 placer en ligne droite au moment du choc, ne conduit qu'à des mouve- 

 ments reclilignes, dépendant de trois constantes au lieu de quatre. Enfin 

 les mouvements, dans lesquels les trois corps s'éloignent à l'infini dans des 

 directions parallèles, dépendent de dix constantes au lieu de douze; quand 

 les trois masses sont voisines, des puissances de l à exposants imaginaires 

 figurent dans les développements obtenus : si l'axe Oa; est parallèle à la 

 direction dans laquelle s'éloignent les trois corps, les coordonnées #•,- 



finissent par varier toujours dans le même sens, mais les coordonnées y, 



± i 



et Zj oscillent indéfiniment de l'ordre de grandeur x* à l'ordre ■x i i . 



Dans le problème des quatre corps, la discussion des équations algébriques 



en a,, j},-, y, montre que les figures-limites sont : le tétraèdre régulier; une 



figure formée de points en ligne droite, dont les distances et les masses 



vérifient deux relations; pour des valeurs convenables des masses et entre 



certaines limites, les quadrilatères plans satisfaisant à l'égalité géomé- 



(') Pour des valeurs particulières des rapports des masses, par exemple quand les 

 trois masses sont égales, les développements considérés dégénèrent en des développe- 

 ments contenant des logarithmes. De même certains résultats énoncés deviennent 

 incomplets, si deux au moins des masses deviennent nulles : par exemple trois masses, 

 dont deux sont nulles, admettent comme figure-limite un triangle isoscèle quelconque . 



