692 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



un théorème sur le signe des parties imaginaires des racines d'une équation, théorème 

 qui peut être utilisé pour résoudre la question. La méthode, que nous allons exposer 

 et qui n'a de commun avec celle d'Ilermite que le fait que nous utilisons des formes 

 quadratiques, conduit à des calculs plus simples que le théorème d'Hermite. Elle est 

 aussi, sauf pour les équations purement numériques, plus avantageuse que la méthode 

 de Roulh. 



Soit l'équation à coefficients réels 



f(x) = a x" ■+- o { x"- { -h. . . -+- a„ = o. 



Nous supposerons a„ constant et non nul, les autres coefficients pou- 

 vant prendre des valeurs arbitraires que nous considérerons comme les 

 coordonnées d'un point M d'un espace à n dimensions. On sait que les 

 racines de f(x) sont des fonctions continues de «,,« 2 , ...,«„, c'est-à-dire 

 de la position du point M et réciproquement. 



Soit D le domaine des points M tels que f(x) ne possède que des racines 

 pseudo-négatives. On vérifie facilement que ce domaine est d'un seul 

 tenant. Posons 



/(.<••) = <p(-c 2 ) -+- -r ^(v' 2 ) (n=2i»ou2m + t), 



et considérons la fonction symétrique de degré (m — 1) en x et y : 



F(a , jr)=i 'pcy)4'(«)-T(-')W = v cE-'-^m, 



ainsi que la forme quadratique associée 



= 2cgX a Xfs. 



Le discriminant R de la forme n'est autre que le résultant des poly- 

 nômes p(a?) et ty(x) tel que le donne la méthode de Bezout. R = o expri- 

 merait que f(x) a deux racines dont la somme est nulle et il est évident 

 que cette circonstance ne peut se produire à l'intérieur du domaine D . 



On a alors la proposition suivante : 



Pour que toutes les racines de f( .v) soient pseudo-négatives, il faut et il 

 suffit que la forme soit définie positive et quêtons les coefficients de z>(ac) 

 soient du signe de a t) . 



1" Les conditions sont nécessaires : décomposons f(x) en facteurs réels 

 du premier et du deuxième degré, 



f(x) = a II (x -+- oc) U(x'-h (3 x + y ). 



