SÉANCE DU 27 OCTOBRE lÇ)l3. (5o,3 



Si les racines sont pseudo-négatives, les coefficients a, [5, v sont positifs 

 et le polynôme f{x) est complet et a tous ses coefficients de même signe 

 que a . Il en est de même de ?(■*"). 



D'autre part, le discriminant R étant différent de zéro dans tout le 

 domaine D , on en conclut que, dans ce domaine, toutes les formes sont 

 des sommes de m carrés indépendants et comportent le même nombre m' 

 de carrés positifs. Il s'agit de démontrer qu'on a m' = m et, à cet effet, il 

 suffit de vérifier le fait pour une équation particulière de chaque degré. 



La vérificalion est immédiate pour le premier et le second degré. 

 Pour les autres, opérons par récurrence. Supposant la proposition vraie 

 pour f{x), établissons-la pour 



On déduit de cette relation 



F'(x,y) = ( I - +aiAv(x,jr)+ J?(«)<p(7)+ ^[ 9 (x) -H •]>(•*•)] [?0')-+-^(.>)]. 



d'où 



8'(X„ x„ ...,\,„ +1 )=7 0(X,. .... X - ) + 8(X I> X 11 ..., X -+t ) + I(P* + Q») l 



4 2 



P et Q étant ce que deviennent cp(.r) et [o(-v) -+- '|(^)] quand on y change 

 x a ~' en X^. La forme 0' est évidemment définie positive comme 0. 



2 Les conditions sont suffisantes : montrons d'abord que f{x) ne peut 

 admettre de racines réelles positives. 



Soit en effet u la plus grande d'entre elles; considérons la valeur particu- 

 lière de 0, 



tt , ., , ,„,_.., v, - .i i: m o(y)^(x) — o(x)^(y) 



fc)(i , 11-. w. .... ur m s ) = ï («*, u*) = li m - — - — ■ ■ ! 



j- =>■ = //* J ■ «^ 



= o'(u i )ty(u 2 ) — o(m 2 )^'(m 3 ). 



ou 



(I) 8 = f(0»)[<p'(ll») + B^(B»)] 1 



en tenant compte de la relation 



(2) / ( u) — ^{ir-)-^ u^(u 2 ) = o. 



ç(a?) ayant tous ses coefficients du signe de a , a ^(ir) est positif et par 

 suite la relation ( 2) donne 



(3) « 'L(« 2 )<o. 



Comme, d'autre part, u est la plus grande racine positive de f(&), 



