tip/l ACADÉMIE DES SCIENCES. 



on a «o/'(") = °) c'est-à-dire 



a o <]> ( » 2 ) -+- 2 a o u [ ? ( «" ) -+- « 4 1 ' ( M * ) ] = ° 

 et a fortiori, d'après (3), 



a [cp'(M 2 )H-n'V(« 2 )l >o. 



Cette inégalité, jointe à (3), montre que l'expression (i) de est néga- 

 tive, ce qui est contraire à l'hypothèse. f(x~) n'a donc certainement pas de 

 racine réelle positive. 



f(x) ne possède pas davantage de racines imaginaires pseudo-positives. 

 Soit en effet/? le nombre de couples de racines imaginaires conjuguées 

 pseudo-positives que posséderait f(x). Considérons l'équation auxiliaire 



f'{.r) = y'(.r 1 ) + x<b'{x il ) = a (jc — ep(x + i)" 2 ' J . 



£ est un nombre positif assez petit pour que tous les termes de degré pair, 

 dont l'ensemble constitue ^'(a? 2 ), soient du signe de <7 . On démontre 

 aisément qu'on peut passer par continuité du point M' figuratif de l'équa- 

 tion f = o au point M figuratif de f sans annuler le discriminant R. 

 Les formes quadratiques et 0' associées à y et f sont donc de même 

 nature et 0' est une forme définie positive. Mais nous avons dit que tous les 

 coefficients de cp'sont du signe de a , et dans ces conditions il est contradic- 

 toire que y admette la racine positive i et que la forme 0' soit définie 

 positive. 



Le polynôme f(x) ne peut donc pas avoir de racines imaginaires pseudo- 

 positives, c. o- f. n. 



Pour exprimer que la forme est définie positive on écrira les conditions 



classiques 



c)R 0'"-' R 



H> °' ^T>°' ••" Oc\Ocl...dcZz\ >0 - 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Le théorème de M. Picard dans un cercle dont 

 le centre est un point critique algébrique. Note de M. Georges Hé.molxdos, 

 présentée par M. Emile Picard. 



1. Dans une série de Notes (') parues dans ce Recueil, nous avons fait 

 connaître des extensions aux fonctions multiformes du théorème par lequel 



(') i° Le théorème de M. Picard et les fonctions multiformes {Comptes rendus, 

 t. 155, 2°sem. 1912, p. 818-820); 2 Le théorème de M. Picard et les fonctions algé- 



