(*)()G ACADÉMIE DES SCIEIVCES. 



2. Je suis récemment arrivé à perfectionner ce théorème par le suivant : 



Théorème II. — Soit u = o(z) une fonction algébroide et finie à n branches 

 dans le voisinage de z = o, déterminée par F équation 



( 2 ) /{s, u ) = u n -+- A, ( z) u"" 1 4- A 2 ( s ) u" - , + ... + A„(;) = o, 



les A, (s), A 2 (s), .. ., A„(s) étant des fonctions holomorphes dans le voisi- 

 nage de z = o, 



I A,(*) = «. + 6,;-+-..., 



) A,(;)=n, + è!:+.. ., 



( ^ i 



[ A„(;) = a„+(i„;+... 1 



Supposons que les polynômes 



p{x) — x" + a,a;" _t H- a 2 .r" _2 -t-. . . + «,„ 

 y(a:) = &,.*"■-• 4- b.,x"- 2 -h...+ b„ 



n aient aucune racine commune et désignons par n, , n 2 , . . ., /?,„ /« degrés de 

 multiplicité des racines du polynôme p(x). 

 Il existe un nombre positif 



R = 6{n, /«,, « 2 , . . ., n, n ; «,, 6,, «,, 6 2 o„, 6„), 



ne dépendant que des nombres n, n,, n.,, ..., n m , a,, b { , a 2 , b.,, .. ., a„, b n 

 [et nullement des autres coefficients des séries (3)], tel que, à l'intérieur du 

 cercle \z\<C R, la fonction donnée ou bien possède un point singulier différent 

 de z = o, ou bien prend au moins une fois l'une des valeurs zéro et un. 



Si nous désignons par r n r. 2 , ..., r, n les racines distinctes du poly- 

 nôme p(x), le rayon R doit être plus grand que o(/-,,y,), o(r,,y,), ..., 

 ?(/,«, T»<)> où l'on a 



l y ic i = 



"t/ (i . -2.3. . ./i/-) y (/>' 



(A- = 1,2,3, . . ., m). 



et cp désigne la fonction indiquée par M. Landau (') et déterminée par 

 M. Carathéodory (■). 



(') Voir É. Landau, Ueber den Picardschen Sat- ( Vierteljahrsschrift der Natur- 

 forschenden Gesel/sc/iaft in Zii/ic/i, Bd. Il, 1906, p. 25a-3i8). 



(-) Sur 1/ ne lq ues généralisations du théorème de M. Picard (Comptes rendus, 

 t. 1 4 ' •> 2 e semestre io,o5, p. 1 21 3-i 21 5). 



