SÉANCE DU 27 OCTOBRE igi3. 697 



3. Le théorème II est plus intéressant que le théorème I, puisqu'il nous 

 dispense de la considération des systèmes circulaires des branches, dont la 

 détermination (') se fait par une méthode assez compliquée de Puiseux 

 (voir É. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. 34>S-36o); au contraire, on sait 

 que la détermination des degrés de multiplicité des racines d'un polynôme 

 se fait par une méthode algébrique élémentaire. 



Le théorème II constitue une extension parfaite du théorème de M. Lan- 

 dau au cas où le point 3=0 est un point critique algébrique de la fonction, 

 sans perdre rien de la précision du théorème de M. Landau au point de vue 

 des valeurs exceptionnelles. On peut dire que notre théorème II a plus de 

 précision et moins d'étendue que les autres, auxquels j'ai fait allusion au 

 commencement de cette Note. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Existence et détermination univoque des solutions 

 des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Note de M. Maurice 

 Jaxet, présentée par M. J. Hadamard. 



L'existence des solutions d'un système quelconque d'équations aux déri- 

 vées partielles, qui a été démontrée pour la première fois par M. Riquier( 2 ), 

 peut se prouver par une méthode de récurrence que je me propose d'in- 

 diquer ici. D'autre part, la question de savoir s'il n'existe (\u'une intégrale 

 répondant à certaines conditions initiales (non caractéristiques) n'a été 

 résolue que pour les systèmes de Cauchy linéaires; la méthode indiquée 

 permet de le faire dans les cas linéaires généraux. 



1. Rappelons le théorème fondamental de M. Tresse ( 3 ) : Une infinité 

 d'équations aux dérivées partielles peut toujours s'obtenir par dérivations et 

 combinaisons d'un nombre fini d'entre elles. 



Soient x,,x.,, ...,x n les variables indépendantes; ;/,, w 2 , ..., u k les fonc- 

 tions inconnues. Laissons de côté les cas où, par dérivations et combinaisons, 

 on peut être amené à une incompatibilité. Si, par dérivations et combinai- 



(') Pour les fonctions algébriques. 



( 2 ) FUquier, Les systèmes d'équations aux dérivées partielles. — Delassus, Exten- 

 sion du théorème de Cauchy {Annales de l'École Normale, 1896). — Voir aussi 

 GtNTHER, Comptes rendus, t. 156, 14 avril 191 3, p. \\'a~. — Robiisson, Comptes rendus, 

 t. 157, io juillet 1910, p. 106. 



( 3 ) Tresse, Acta matliematica, t. XVIII, 1 8g4- 



C. R., igi3, a» Semestre. (T. 157, W 17.) g3 



