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sons, on ne peut trouver d'équation contenant la seule fonction w,, pre- 

 nons-la arbitrairement; après avoir, éventuellement, choisi ainsi une ou 

 plusieurs fonctions, nous serons ramenés à un système contenant p fonc- 

 tions inconnues, chaque fonction inconnue satisfaisant à une équation aux 

 dérivées partielles (au moins); considérons-en une [tour chaque fonction : 



(') E,(«,) = o, Ej(«j) = o, ..., E p (u p )z=o. 



Changeons de variables, s'il y a lieu, de manière que le plan a - , = o ne 

 soit caractéristique pour aucune de ces équations. Elles s'écrivent 



t i\ P< à ''"' V ( &■->• Il <) r ,t/ \ 



De ces équations et de celles qu'on obtient par dérivation, on peut déduire 

 les expressions de toutes les dérivées de //,, où la dérivation est prise r t fois 

 au moins par rapport à x, en fonction des autres. 



Reportons-nous au système donné, et considérons toutes les équations 

 qui peuvent s'en déduire par dérivations; supposons-y les dérivées de «, où 

 la dérivation est prise r, fois au moins par rapport à x, remplacées par leurs 

 valeurs; nous obtenons ainsi un système infini qu'on peut regarder pour un 



instant comme un système d'équations aux dérivées partielles, les variables 



,. , i r .• • i dut d'--'i/, 



étant x.,, ..., r„, les tondions inconnues les u h - — > •••> , x, étant un 



(J>£\ doc , ' 



paramètre; d'après le théorème rappelé au début, il est constitué par les 

 dérivées prises par rapport à x.,, ..., x„ d'un nombre fini d'entre elles. 

 Soient 



(2) e, = o, Ci=-o. ..., e 7 =o 



ces équations ('), « base » du système infini aux variables^, ..., cc n . 



de ■ 

 D'après cette définition, les -r-~r sont identiques à des combinaisons de 



dérivées prises par rapport à x 2 , ..., x n des (F/) et des (c) : 



et, quel que soit a?,, si l'on annule E\ , VJ., , ..., E^, e { , e 2 ", ..., e, n 

 <^'JJ ,x„(E(, ••-, e q ) s'annule. 



Faisons x, = o. Considérons une solution du système (2) aux variables 



(') Il ne suffit pas, bien entendu, Je supposer que ces équations forment la hase du 

 système pour une valeur particulière de X\. 



