SÉANCE DU 27 OCTOBRE IC)l3. 699 



indépendantes ;r 2 , ..., x n et aux fonctions inconnues "i-j— ! ' ■••> u p , ..., 



r , : le nombre des variables indépendantes étant moindre que n, nous 

 admettons qu'on connaisse les conditions d'existence des solutions. Prenons 

 comme conditions initiales pour les équations (V) ces solutions mêmes; il 

 en résultera une solution holomorphe de ces équations; substituons cette 

 solution dans les e.j ; nous obtenons des fonctions holomorphes ; or, elles 

 satisfont à (3)' et s'annulent pour x { = o ; zéro est, d'autre part, la seule 

 solution bolomorphe s'annulant pour x, = o du système 



de- 

 (3') ^-=D r , ,,,(0,0, ...,£-, ,<?,,); 



donc les e y sont nulles partout, et les fonctions trouvées satisfont au système 

 proposé. 



Comme on connaît le théorème d'existence d'un système à zéro variables 

 indépendantes, c'est-à-dire d'un système d'équations ordinaires, le théo- 

 rème est général. 



Il est à remarquer qu'il n'est pas nécessaire de prendre pour les E des 

 équations à une seule inconnue; on pourrait prendre un système de Cauchy- 

 Ivowalewski quelconque déduit du système donné. 



2. D'après ce qui précède, d'un système d'équations aux dérivées par- 

 tielles dont la solution ne dépend pas de fonctions arbitraires de n variables, 

 on peut déduire par dérivations et combinaisons une infinité de systèmes 

 de Cauchy-lCowalevvski (systèmes susceptibles d'être mis sous la forme 

 classique par un simple changement de variables indépendantes). Par 

 définition, une surface sera dite caractéristique si elle l'est pour tous ces 

 systèmes (' ). 



La démonstration précédente prouve l'existence d'une solution holo- 

 morplie unique lorsqu'on se donne sur une surface non caractéristique 

 x t =0 des valeurs holomorphes quelconques pour certaines dérivées : on 

 précisera ces dérivées pour chaque système, en faisant, s'il est nécessaire, 

 des changements de variables pour x 2 , x 3 , ..., x n , x 3 , ..., x n et appliquant 

 le théorème au cas de /* — 1, n — 2, ..., variables indépendants. 



Une question se pose : ne pourrait-il se faire qu'une donnée non holo- 



(') Celte définition s'iiccorde avec celle de M. Gunllier {Comptes rendus, 

 i4 avril 1913) et avec celle que j'avais donnée précédemment (Comptes rendus, 

 i3 janvier 191 3). 



