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par ailleurs) 



(A) r 



-tf £ — 0> - 



sins \2 



assure la même conclusion. Cette condition entraîne ici $'(-+- o) = o. 



VFI. Si, dans l'intervalle o, -, on a <P(e) <<&(-+- o), et si $'(e)sine est 



une fonction croissante, la difficulté (/>) est évitée, quelle que soit la forme 

 de l'obstacle. 



Ces résultais, qu'on peut du reste généraliser, sont établis en supposant 

 l'existence et la continuité de la fonction O(e) et des dérivées introduites, 



dans l'intervalle o, -; à l'exception des extrémités, pour lesquelles le sens 



physique de la question impose que ces fonctions tendent vers des valeurs 



déterminées quand t tend vers o ou - dans l'intervalle. Ces théorèmes 

 1 2 



permettent de former des infinités d'exemples non illusoires, comprenant 



des obstacles des formes les plus variées, en gouttières, en proues, ou 



présentant un nombre quelconque d'ondulations. Le cas des proues 



(convexes vers le courant; $(£)<o, $'(£)< o pour o< £ < - ) est spécia- 

 lement important. On a alors le théorème suivant : 



Pour les obstacles en proues, c'est-à-dire convexes vers le courant, la condi- 

 tion (A) est nécessaire et suffisante pour la validité de la solution. Si l'inéga- 

 lité (A) devient une égalité, on a une véritable proue, d'où les lignes de 

 glissement se détachent tangenliellement avec un rayon de courbure non 

 nul. 



Des résultats analogues sont valables lorsque le fluide possède des fron- 

 tières à distance finie; mais les démonstrations deviennent beaucoup plus 

 malaisées. Citons ici l'un des cas les plus intéressants, celui d'un canal 

 contenant un obstacle symétrique. J'ai fait voir (Journal de Mathématiques 

 pures et appliquées, 191 1) que la solution dépend de la construction de la 

 fonction 



o(Z) = i£ /■*•(«)■ 



1% 



P \i* 



- losZ 



( ^ £ 



de [d»(7i — £)= -<!>(£)]. 



s suiva 

 Pour les obstacles concaves vers le courant I e !* (s) croissant, entre les 



Je signale alors notamment les deux théorèmes suivants 



