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D'une façon plus générale, lorsque V équation vérifie la condition R ^ o 

 (ce qui implique l'absence de groupe de deux racines cc\ x", telles 

 que pc' -+- x" = o) et a une racine réelle au plus, les carrés positifs et négatifs 

 de lu forme associée sont respectivement en même nombre que les couples de 

 racines imaginaires pseudo-négatives et pseudo-positives. 



Pour établir cette proposition on remarquera d'abord qu'en faisant varier Tunique 

 racine réelle (s'il y en a une) de — oo à -+- co , la condition Rxo ne cessera pas 

 d'être satisfaite si elle l'est pour une valeur particulière de cette racine réelle. 

 La nature de la forme quadratique est donc indépendante de la valeur de cette 

 racine réelle. 



Il suffit donc de rechercher l'influence des couples de racines imaginaires. A cet 

 effet on fera varier successivement les parties réelles de ces couples de racines, de 

 manière à passer d'une équation où toutes les parties réelles sont positives à une 

 équation où elles sont toutes négatives. Chaque fois qu'une partie réelle passe du 

 positif au négatif un carré positif de devient négatif, d'où résulte la propriété 

 énoncée plus haut. 



Étudions enfin l'équation la plus générale vérifiant la condition R ^ o 

 (pour ne pas surcharger cette Note nous laisserons de côté le cas R = o). 

 Nous allons préalablement définir ce que nous entendrons par rang d'une 

 racine réelle de l'équation. 



Soient x,, x. 2 , . . ., x /n . . ., x r les racines réelles de f(x). Puisque R est 

 différent de zéro, il n'y a pas deux racines égales et de signe contraire. 

 Supposons les racines réelles rangées par ordre de valeur absolue 



'i 



<i 



• = 1^1 



chaque racine multiple étant écrite un nombre de fois égal à son degré de 

 multiplicité. Par définition p sera le rang de la racine x p . 



Soient en outre a, ±(3,i, a 2 ±(3 2 /, ... les couples de racines imagi- 

 naires. Faisons varier la racine x, depuis x, jusqu'à x. 2 par valeurs réelles, 

 puis passons par continuité de la racine double x 2 au couple de racines 

 imaginaires x. 2 ± yi, le nombre positif y étant choisi inférieur au plus petit 

 des nombres (3. Pendant cette transformation le discriminant R ne s'est pas 

 annulé, car l'égalité x' -+- x' ' = o n'a été satisfaite à aucun moment. 

 Par conséquent la nature de n'a pas été modifiée. 



Opérons de même sur le groupe a;,, x., de manière à aboutir à un couple 

 de racines imaginaires x, t ±oi et ainsi de suite. Le polynôme f(x) est 

 transformé en un polynôme f ayant au plus une racine réelle et dont la 

 forme associée 0' est de même nature que 0. Or les couples de racines 

 imaginaires de/' (a?) comprennent : 



