SÉANCE DU IO NOVEMBRE I9l3. 83g 



i° Les couples de racines imaginaires def(x); 



2° Les couples as 2 ± yi, x^ztèi, etc. et la comparaison de ce résultat 

 avec le précédent permet d'énoncer la proposition suivante : 



Lorsque f(x) = o vérifie la condition R =^ o, le nombre de carrés positif s 

 (négatifs) de est égal au nombre de couples de racines imaginaires pseudo- 

 négatives (positives) augmenté du nombre de racines réelles négatives (posi- 

 tives) de rang pair. 



Pour être renseigné sur le signe des racines réelles de rang impair, il 

 suffit d'appliquer la proposition ci-dessus à l'équation 



f i {x) = < 9 >{x*)+x<b l {x>-) = xf{x) = o. 



En effet, l'adjonction de la racine zéro transforme toute racine de rang 

 impair de/(.r) en une racine derang pair pour/", (x). On est ainsi conduit 

 à considérer une nouvelle forme quadratique 0,(^,, \ .,, ...) admettant 

 pour polynôme générateur 



y,( )t}i(.f)-9i(.n||tj) _ J'}( i r)-vi/l-.r}l.r)y(/) 

 Jl y-x y — x 



En réunissant les résultats obtenus pour et 0, on arrive au théorème 

 suivant : 



Lorsque f (x) = o n'a pas de racine commune avec/(— x) = o, le nombre 

 de racines pseudo-négatives (positives) de l'équation est égal au nombre de 

 carrés positifs (négatifs) de Informe quadratique ci n variables 



T = e(X„ X, X„,) + 0,(Y,. Y,. ...)■ 



En faisant le changement de notations 



A| = 3g, Aj— C;, .... A.0] — Sjfljj 



1 , := ;, , Y 2 ^= -3, Ï3— ; i- ■ ' ' 1 



la forme T(z,,s 2 , ..., s„) admettra comme polynôme générateur le poly- 

 nôme (') 



G(x, y)=zxy¥(x\ y-) + F t (x*, y) r= 2(x+ y) 



(') La fonction G présente une grande analogie avec la fonction symétrique en ; 

 et s', d'expression — i ^ ' — " , _ — — — -j utilisée par Hermite pour obtenir 

 une forme quadratique. 11 n'y a cependant pas identité. 



