84o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Il est plus commode pour les applications de considérer séparément les 

 formes et 0, plutôt que la forme résultante T, mais l'expression très 

 simple du polynôme générateur G(x,v) de la forme T permet d'établir 

 très rapidement les propriétés de cette forme T. 



Le principe de la méthode consiste à utiliser une formule d'addition des 

 fonctions G. En posant f(x) = /, (x)f, (x) et appelant G, G,, G 2 les 

 polynômes G associés respectivement à f,f,,f 2 on vérifie immédiatement 

 la formule 



G(^/) = / 2 (-^)/ 2 (-j)G 1 (*,/) + / 1 (^)/,(7)G 2 (x, 7 ). 



L'application de cette formule aux divers facteurs réels du premier et du 

 deuxième degré en lesquels peut se décomposer tout polynôme /(x) donne 

 immédiatement les propriétés de la forme T. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un algorithme toujours convergent pour 

 obtenir les polynômes de meilleure approximation de Tchebychef pour une 

 fonction continue quelconque. Note de M. Georges Polya, présentée par 

 M. Emile Picard. 



En combinant des valeurs données par observation, on se sert d'ordi- 

 naire de la méthode des moindres carrés. Mais on pourrait (a priori au 

 même titre) se laisser guider par la « méthode des moindres puis- 

 sances 2/k' émei » ou aussi par le principe « rendre minimum l'erreur la plus 

 grande en valeur absolue ». M. Hunge m'a fait remarquer un rapport inté- 

 ressant entre ces divers principes, et c'est en amplifiant un peu cette 

 remarque que je suis parvenu aux résultats suivants. 



Je considère exclusivement des polynômes U (x) = u -t- u { x + ... + «„./■", 

 dont le degré ne surpasse pas n, et je considère toujours le polynôme U (x) 

 ensemble avec son point représentatif U = (« , u,, ..., u„) dans l'espace 

 à n -t- i dimensions. 



I. Soit (p(.r) une fonction continue (') (o<#-5i). La fonction ration- 

 nelle entière des n -+- 1 variables u , u i} . . ., u, n 



A/,(U) — / [m 4- i>ix +.. .+ u n x n — <p(.i-)]' 2/ '' dx, 



-o 



(') Dans les démonstrations, je supposerai que y(x) n'est identique à aucun poly- 

 nôme de degré < n . 



