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II. Soit T(x) = t„+ t { œ -f- . . . -H t„x n le polynôme de degré n, donnant la 



meilleure approximation de la fonction cp(a- - ) au sens de Tehebyehef. On a 



toujours 



limP*(^) = T(.r). 



Soit L le maximum de la fonction continue \T(x) — a(x)\. On sait 

 (Borel, Fonctions de variables réelles, p. 82), que T(;r) est entièrement 

 déterminé par sa propriété, qu'il n'existe aucun polynôme de degré 

 SnT*(x)^T(x), pour lequel l'inégalité \T"(x) — z>(x)\^h a lieu dans 

 tout l'intervalle o<a?5i. ■ 



Je passe à la démonstration de II. En vertu de I, on a 



(3) 



f \P k (x) — ?{T)Y''d.r = f [T(x) — (D(a-)Y k dxiU 

 «Ai »A> 



Dans un intervalle quelconque a<aj<p\ la fonction | P k (x) — z>(x) \ 

 admet un minimum déterminé, soit au point E A . On a, d'après (3), 



(4) |P, ( ^,<_^ + 4,<_^_ +$ , 



«I> désignant le maximum de | <p(a?)| pour o<x'Si. Je considère maintenant 

 les n -+- 1 intervalles 



3 



2 « ■+- l / \ 2 « 4- I 2/Î + 



Soit .t = ^ v) une des valeurs, pour lesquelles la fonction | P k (x) — o (x) 

 atteint son minimum dans l'intervalle 



v 2 n + r 2 « + 1 



En se servant de (4) on obtient 



|P*0)l 



vp ^m (^-g)---c^-^"0(^-£r")---(^-^' ) ) 

 ^ * w * ; (Çï'-so.-.(^ > -ç!r l, )(fiî , -er ,, )-..(S , -5Sf') 



[(a/t + i)L + 0>]( 2 /,+!)"(// +1) (o <#<!), 



d'où il suit (voir Borel, /oc. «/".) que les coefficients p k() , p kl , .. .,/>/,„ de 

 Pjt(œ) restent compris entre des bornes finies, indépendantes de k, ou, ce 

 qui revient au même, que l'ensemble dénombrable 



(5) P . P„ P„ .... I',, .... 



est contenu dans une portion de l'espace finie. Il y a donc deux cas et seu- 

 lement deux : 



