SÉANCE DU IO NOVEMBRE IO,l3. 843 



Ou bien le point T = (/ , /,, ..., /„) est le point limite unique de 

 l'ensemble (5), dans ce cas, notre théorème II est démontré; 



Ou bien on peut choisir une infinité d'indices X - ,, k 2 , . .., kj\ ... tels que 



limF' Av (.r) = T*(.r) 



où T* (a - ) est un polynôme de degré n (au plus), diffèrent de T (x) et où 

 les polynômes -P kJ (x) convergent uniformément, parce que leurs coefficients 

 convergent vers ceux de T* (.r). 



Ce dernier cas est cependant impossible. En effet, soit L* le maximum 

 de | T* (.r) — ç (x) |. Le nombre i > o étant donné, on peut, en vertu de la 

 continuité de | T* (x) — o ( x) | et de la convergence uniforme des P k : (x), 

 déterminer un intervalle (a, (3) et un entier y, de manière que 



l p /../0) — v(* r .)l> L *— - c . p (,ur « = •* = £> j>y, 

 d'où l'on tire successivement 





■2k / fl 



lini sup 4 / l 



*=- y J* 



(P A (.r)- ? (x)^^>L*, 



(6) L>\T'(x) — <?(x)\, pour o<.z<i. 



(L'inégalité (Ci) s'obtient en utilisant (3) et la définition de L*.) Mais (6) 

 est incompatible avec la propriété fondamentale de T(a-). Notre théo- 

 rème II est donc démontré. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques équations intégrales singulières. 

 Note de M. E. Goursat, présentée par M. Emile Picard. 



On sait que les solutions d'une équation intégrale, où l'une des limites 

 est infinie, présentent des propriétés tout à fait différentes de celles de 

 l'équation régulière de Fredholm, au moins dans certains cas. M. Picard 

 en a donné un exemple déjà classique ( Annales de l'École Normale supé- 

 rieure, 191 1, p. 3 1 3 ) , où la solution, considérée comme fonction du 

 paramètre A, admet comme coupure naturelle une portion de l'axe réel, 

 quand on choisit convenablement le second membre. A la fin de son 

 Mémoire, M. Picard montre comment la solution de cette équation inté- 

 grale se déduit, par un calcul élémentaire, de l'intégration d'une équation 



