844 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



différentielle linéaire du second ordre. Des considérations analogues 

 permettent aisément de former des exemples d'équations intégrales où la 

 solution peut admettre comme coupure naturelle une ligne quelconque du 

 plan de la variable A. J'indiquerai en quelques mots les plus simples. 



Soit a un nombre dont la partie réelle est positive. La formule facile à 

 vérifier 



" X 



prouve que e~ ac est une solution de l'équation intégrale homogène 



Jr + " (s — x\ n 

 X 



Inversement, étant donnée l'équation intégrale 



(2) < f { X ) = lJ' lS ~'* )a o(s)ds +/{*:), 



i 



toute valeur de X telle que l'une des déterminations de X" +1 ait sa partie 

 réelle positive est une valeur singulière pour cette équation, en appelant 

 valeurs singulières les valeurs du paramètre X telles que l'équation homogène 

 correspondante ait une solution différente de zéro. Si n ^> i, on voit que 

 toutes les valeurs de X, sauf\ = o, sont des valeurs singulières pour l'équa- 

 tion (i). Si n = o, les valeurs singulières sont les valeurs de X dont la 

 partie réelle est positive. Si n = i, toutes les valeurs de X, sauf zéro et les 

 valeurs réelles négatives, sont singulières. 



Considérons maintenant l'équation (2) avec second membre, et suppo- 

 sons que pour toutes les valeurs de la variable .r, supposée réelle, on ait 

 |y(a-)|<Le ~'' r , L et /étant positifs. On peut résoudre l'équation (2) par 

 approximations successives suivant la méthode habituelle, et l'on obtient 

 ainsi une série entière en X, y(x, X) qui, on le démontre aisément, est 

 absolument convergente dans le cercle C de rayon /" +l ayant pour centre 

 l'origine. Mais le prolongement analytique de cette série entière en dehors 



du cercle C peut présenter des coupures choisies arbitrairement. En effet, 



a" +1 

 dans le cas où f(x) = Ae~ ax , la solution est gp(a;) = A „_n 1 e""*; au 



moyen de cette solution simple, on peut résoudre l'équation (2) lorsque 

 la fonction f{x) est de la forme /(a;) = IA,e ar , tous les nombres a, 

 ayant leur partie réelle positive et les deux séries -|A,|, ï| A,a" +, | étant 



convergentes. 



