SÉANCE DU IO NOVEMBRE I9l3. 845 



La solution correspondante est alors 



_, A ./y'1+t 



cette fonction est holomorphe dans toute région du plan ne renfermant 

 aucun des points a," + \ Elle est méromorphe dans une région du plan ne 

 renfermant qu'un nombre fini de ces points. Mais si l'on a choisi les 

 nombres a, de telle façon que sur un arc fini quelconque d'une courbe T ne 

 passant pas par l'origine il y ait une infinité de points a" +1 (ce qu'on peut 

 toujours faire d'une infinité de manières, si n> i), on sait que la courbe 

 T est une coupure naturelle pour la fonction <s(x, X) ( ' ). 

 Dans le cas de l'équation de M. Picard 



(3) ep(ar) = X / e-l*-'l 9(5) ds+f(x), 



J — » 



où les deux fonctions/" et © sont supposées bornées de — =e à -h ce, toutes 

 les valeurs positives de X supérieures à - sont des valeurs singulières, et à 



chacune d'elles correspondent deux fonctions fondamentales g*'" 2 * ' . 



( 1 H- a 2 )e a ' j: 

 Dans le cas où f(x) = e a ' x , a étant réel, la solution estcp(;r) = ,_ . > 



et à l'aide de cette solution simple on peut former, comme tout à l'heure, 

 des fonction s y (.r) telles que la solution correspondante de l'équation (3) 

 admette pour coupure naturelle un segment quelconque de l'axe réel au- 

 delà du point d'abscisse -• C'est le résultat obtenu directement par 



M. Picard. 

 Les valeurs singulières de l'équation de M. Lalesco, 



(4) 



y(x)=ll e-\ x - s \y(s)ds+f{x), 



■A> 



sont les valeurs de A pour lesquelles la partie réelle de yi — 2 A est inférieure 

 à l'unité en valeur absolue. 



Ces divers exemples semblent établir une différence essentielle entre 

 l'équation régulière de Fredholm et les équations singulières. Cependant 

 cette différence est peut-être moins absolue qu'elle le paraît au premier 



(') H. Poincaré, Acta Societatis Fennîcœ, t. V. — E. Goursat, Bulletin des 

 Sciences mathématiques, 1887. 



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