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s'il arrive que les lignes asymptotiques du premier système admettent des 

 surfaces trajectoires orthogonales Q, = const., et que de même les lignes 

 asymptotiques du deuxième système admettent des surfaces trajectoires ortho- 

 gonales Q,= const., alors les surfaces (S) appartiennent à un système triple 

 orthogonal. En outre la détermination des surfaces (S ) revient à la recherche 

 des solutions communes à deux équations aux dérivées partielles du troisième 

 ordre linéaires par rapport aux dérivées de cet ordre. 



Les axes de coordonnées étant, rectangulaires et quelconques, si Ton 

 désigne les dérivées de u(x,y,z) par u { , u a , //.,, h,, ..., les conditions 

 pour que les surfaces (S) possèdent des surfaces trajectoires orthogonales 

 pour les deux systèmes de lignes asymptotiques s'obtiennent en éliminant 

 X, Y, Z entre les trois équations 



a, X + a,\ -+- u 3 7, =. o. 



l/ u X"-h K S ,Y ! + ll i3 Zr->r 2 MjjYZ + 2UjjZX -+- 2 M 1S XY = O, 



<)\ dZ\ . „/<JZ dX\ . r ,fàX_àY\^_ 



X \dl~ dj) + Y [àJ- ~ JE) + Z V ày à* 



En supposant u 3 =f= o, nous pouvons tirer Z de la première ; la deuxième 



Y 



donne alors ~ et nous pouvons poser 



' \ = U^U\ + U 33 u\ 2ttî,«,«„ 



Y =— I/ V2 lll ■+■ M s3 «i «3 H" "31 «2 «8— "33 «1 «!± «S \/M, 



Z = — u 3l a; -+- « 2:) ii, u 2 -+- ii r2 u 2 u 3 -- ii.,, u t u 3 rp u, yiVl , 



avec 



M = U,, ll\ -+- UjjttL'-t- V33UI +• 2«2«sU s3 H- 2H,«,U„ + 2«,l/,l, 



U rt désignant le coefficient de u l/( dans le hessien de la fonction u. 



Si l'on remplace X, Y, Z par ces valeurs dans la troisième équation du 

 début, il faudra égaler à zéro le coefficient de v'M et le terme indépendante 

 qui fournit les deux équations cherchées : 



(I) M(«,«„ - «,«„) =X(A1— B; ) + A(B^-X^) + 15(\; - A,), 



.... ../ dM dM dM\ 



(I1) x ('"d7 + "-d7 + "^) 



+ aM | (« :l ;,-H «,,)X — A «„, - B« S1 + U 3 {B' X ^- X'.J ■+■ </,( A.;.— .V v )] = o, 



A et B désignant l'ensemble des termes qui précèdent le radical -dans les 

 valeurs de Y et Z. 



Si maintenant nous prenons pour origine un point quelconque de 

 l'espace et pour Oy, Oy les tangentes aux lignes de courbure de la surface S 



