fcÉANCE DU 17 NOVEMBRE I9l3. 907 



qui passe en ce point, on aura tt,, u 2 , u,. 2 nuls et les équations (I), (II) 

 deviendront respectivement 



(!') U i Ui î i~2U i3 U M = 0, 



(II') «s(«ll«!S3— "22 "lis) + 2«lf«Iï(Mll«îï) -t- 2«!i«ï,- 2«lt«ls = 0, 



après avoir toutefois divisé la première par u 2 .,u\ et la deuxième par u.,. 2 u\. 



Si 11.,., était nul, on ferait le calcul en partant de y et l' on trouverait les 



mêmes équations, en supposant cette fois a,, différent de zéro. Donc, en 

 tout point de l'espace, la fonction désignée par S par M. Darboux, et dont 

 la forme réduite est 



S = 2 ul («,,— ti. 12 )(u 3 a n3 — sa I? /? M ), 



est nulle; donc les surfaces (S) appartiennent à un système triple ortho- 

 gonal. La détermination de toutes ces surfaces revient à la recherche des 

 solutions communes aux équations (I), (II), qui sont bien de la forme 

 indiquée dans l'énoncé du théorème. 



Premier exemple. — Il m'a été fourni par l'étude du complexe des droites 



qui coupent une quadrique Q à centre sous des angles égaux. 



Ce complexe est formé par les cordes des polhodies de Q. On peut écrire 



son équation 



«JL YZ + (3 M ZX -+- y N XY = o, 



X,Y, Z, L, M, N désignant les six coordonnées de la droite. (Test aussi le com- 

 plexe des normales aux surfaces a?"v^- Y = const., et à un complexe de cette 

 forme correspondent deux familles de quadriques Q, = const., Q,= consl. 



a. Pi v 



qui sont réelles ou imaginaires suivant le signe de l'expression ^J- 



On peut toujours supposer a -+- ft ■+- y -1- a(3y = o; mais si l'on veut que 

 a., (3, y représentent des quantités réelles, on remplacera a, |3,y par ai, (il, yi 

 si les lignes asymptotiques de 



(2,) x a yPsy= const. 



sont imaginaires. Les quadriques Q,, Q 2 ont pour équations 



(Q>,) (1 — 3).r 2 +(n-2).v 2 + (1 + 3,3)^= const., 



( V-,) (1 -+- S).r 2 -i- (1 — a) /-•+- (i-t- a3); 2 = const. 



On sait d'autre part que ces surfaces (2,) appartiennent à un système 

 triple orthogonal qu'on retrouve facilement en cherchant les surfaces qui 



