SÉANCE DU 17 NOVEMBRE I()l3. 91! 



Soit, pour plus de simplicité, p — 3. Soit c^> o, o< - et soit K un 



polyèdre d'Euler qui est compris dans P et qui contientlecube ù'Sx^a — 0. 



Décomposons K en tétraèdres en nombre fini, de manière que deux quel- 

 conques de ces tétraèdres n'aient qu'une face ou une arête ou un sommet 

 commun et que les longueurs de toutes les arêtes soient plus petites que 0. 

 Désignons par [0] cette décomposition. Soit M un sommet de l'un de ces 

 tétraèdres, soit M' un tel point de R ? que MM" < 0. Soient L, M, N, O les 

 sommets de l'un des tétraèdres de \o\. 



Désignons par 2 la somme des volumes de tous les tétraèdres L'M'N'O'. 

 Cl sera par définition la plus petite des limites des S pour — o ('). 



Désignons par F' la variété 



Faisant varier x\ seul, soit II, la variation totale dey*.. H, est une fonction 

 semi-continue sur la face x, = o de P et 



f /'il, </x 2 x t = I ' ( /' II, dx, ) d,-,= f ( f H, d#, ) dx % . 



Soient H 2 et H 3 les analogues de II , . 



Théorème 1. — La condition nécessaire et suffisante pour que C.j de F.J soit 

 finie est que les intégrales par défaut des H, , IL, H, soient finies. 



Décomposons P par des plans a?,= const. (i = i, 2, 3) en prismes droits 

 (de bases rectangulaires) en nombre fini. Projetons la partie de F, qui 

 correspond à l'un de ces prismes ortbogonalement sur les espaces y, = o. 

 Ces projections auront des volumes. Elevons ces volumes aux carrés, soit A la 

 racine carrée de la somme de ces quatre carrés. Lorsque les diagonales de 

 tous les prismes tendent vers zéro, la somme des A tend rers une limite t qui ne 

 dépend que de F, . 



Théorème 2. — t et C^ de F.' sont à la fois finies ou infinies. 



Théorème 3. — Nous disons que V£ est rectifiable lorsqu'il existe une 

 constante finie et positive G, de manière que A"B" < G.AB, A et B étant 

 deux points quelconques de P. 



(') On pourrait supposer que les y} ne sont qu'uniformes et définir pour une telle 

 V* une C' p , mais aucune détermination de telles C* n'est connue, sauf pour p = i. 



