SÉA.NCE DU 17 NOVEMBRE I9l3. 0,l3 



qui définit les polynômes ultrasphériques. Des développemenls de ce genre 

 se présentent en Mécanique céleste ('). 



Exprimons les coordonnées x du point P en coordonnées polaires 

 p, 0,, 0.,, ..., /)+î et considérons les \ comme les coordonnées d'un point A 



de rayon vecteur A < 1 et d'angles polaires ->••■»-> a,, a,, . .., a,,_,. La 

 fonction F prend la forme 



4> = [p 2 - aXpcoscp-t-), 2 ] ~ , <p = (OP,OA). 



A l'extérieur de S, *I> est partout harmonique et finie et l'on a 



•=2 , 5S^5=i 11 ' 



lill 



pP 



Donnons aux E d'autres valeurs ; , coordonnées du point B de rayon 

 vecteur^, (t< i) et d'angles polaires -■> •••> -> fi,, ..., fi,,.,. La fonction 



,■ + ,■_ I 



4'-- [T-'p-- arpcosA + ij " - , >}/=:(OP, OB) 



est harmonique et finie, sauf au point B. Pour p < -> 



La formule de (ireen généralisée donne 



(i = hypersphère de rayon infiniment petit entourant B 1. 

 d'où 



• s 



... + . w + f 



1 1 — 2 At.cosu + /. . 1 



CO = (OA,OB). 



Le deuxième membre ne dépend que de At; c'est la propriété connue (- 1 



(') Les premiei-s exemples de polynômes ultrasphériques ont été donnés par 

 rlermite ( Œuvres, t. li ). 



( 2 ) P. Appell, Rend. Cire. mat. Palermo, t. XXXVI, igi3. 



