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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le module minimum d'une fonction analy- 

 tique le long d'une circonférence. Note de M. Michel Petrovitch, 

 présentée par M. J. Hadamard. 



Le théorème de M. Schou exprime une relation d'inégalité entre le 

 module maximum M(r), le long d'une circonférence c de rayon r ayant 

 l'origine pour centre, d'une fonction f(z) holomorpbe à l'intérieur de c et 

 sur c, et le nombre p de zéros de /(s) compris à l'intérieur de c. 



La proposition faisant l'objet de la présente Note exprime une relation 

 d'inégalité entre le module minimum N(/ - ) de f(z) le long de c et le 

 nombre p. 



Soit 



(i) /(î)=«»+«i:+«!: ! + ... 



le développement de Taylor représentant la fonction /(s) à l'intérieur 

 de c. Si l'on forme la fonction 



( 2 ) «-(0 = ^2 \ a » l "\ 2 - 



et si l'on désigne par L la plus petite valeur qu'elle prend lorsque / varie 

 de o à r par valeurs réelles, d'après une proposition que j'ai démontrée 

 dans un travail antérieur (' ) la valeur 



? _ Kl 



(où l'on peut aussi remplacer L par l'une de ses limites supérieures L) 

 représente une limite inférieure des modulesdcs zéros a,, a 2 , ..., a. def(z) 

 compris à l'intérieur de c. On aura donc 



(3) \<x 1 tx i ...cc„\>li>, 



d'où l'on conclut, en vertu du théorème de Jensen, que 



' r\P 



^f \o g }f{re^)\d9<\o g (j 



(') /inil. de la Soc. matliém. de France, l. XXIX, 1902. 



