Io42 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Développement de(x — y) -1 en série procédant 

 suivant les inverses de polynômes donnés. Note de M. Paul Appeli,. 



Soient P (ce), P, (x), ..., P n (x), ... des polynômes donnés, de degrés 

 marqués par l'indice, dans lesquels le coefficient de la plus haute puissance 

 de x est supposé égal à l'unité. Supposons également que, x désignant une 

 variable complexe, les racines du polynôme V n (x) soient, pour toutes les 

 valeurs de n, représentées sur le plan complexe par des points situés à 

 l'intérieur d'un cercle C de centre O et de rayon déterminé R. 



Nous avons montré (') que, si la fonction - est développable en 



x y 

 série procédant suivant les inverses de ces polynômes, le développement 

 est de la forme 



_L_ - ' , Q'(t) , , Qn-dy) . 



œ-y P,^) Pi(») ^••■" + " \> n {x) "•"■■•• 



où les Q n (y) sont des polynômes en y de degré n, dans lesquels le coeffi- 

 cient dey" est i, avec 



|j|<R, |.r|>R'>R. 



Nous avons ensuite donné une méthode ( 2 ) permettant de former le 

 polynôme Q„(y) au moyen des fonctions symétriques des racines des 

 polynômes donnés P. 



L'objet de la présente Note est de résumer et de préciser ces résultats à 

 l'aide du théorème suivant, qu'on peut d'ailleurs démontrer directement : 



Si Von considère l'intégrale définie 



lB -"- 27» J c P v+1 (*)*"' 



où r intégration est faite le long de la circonférence G, dans le plan com- 

 plexe, et où n et v désignent deux entiers positifs ou nuls, on a 



Ce théorème détermine les polynômes adjoints Q, quand les poly- 



(') Comptes rendus, t. 157, 19 1 3, p. 5. 



( 2 ) Bulletin des Sciences mathématiques, 2' série, t. XXXVII, novembre 1913. 



