SÉANCE DU I er DÉCEMBRE IO,l3. Io5l 



Les composantes d'un déplacement infiniment petit (du, dv, rfp 2 ) du 

 point M sont Adu-h % 2 dp 2 , Cdv + ï) 2 û?p 2 , C 2 ^p2- La tangente en M à celles 

 des courbes (T; qui passe parce point a pour paramètres directeurs A,Cç,o, 

 Exprimons que le déplacement est orthogonal à la tangente, il viendra 



A ! rf« i +C ! é î + (Ai,+ C ? %) rfpî=o. 



Pour que les courbes (Y) soient orthogonales à une famille de surfaces, 

 il faut et il suffit que cette équation soit complètement intégrable. Cette 

 dernière condition s'exprime par l'équation 



(a) AC 2 £,|ï-HA2CY) ! ^-A 2 C--^+iM( P +(A !! + C 2 9 2 )(C/-f 2 + A/- 1 -o 2 -ACr î )=o, 



"On dv Op 2 



où l'on a posé 



M = 2 AC*-^-2Asc4^-AO$- ! + A 2 C^ 

 Op-2 ap-2 ou dv 



— C 2 -r- £,+ A s -r- y)j+ 2 A 2 0.£ 2 -t- i AC 2 rr] 2 . 

 du ■' dv 



III. D'après le théorème de Dupin et sa réciproque, pour que (S) engendre 

 une famille de Lamé, il faut et il suffit que la congruence formée par les 

 lignes de courbure v = const. soit normale, c'est-à-dire que l'équation (2) 

 admette la solution ç< = o. Cette condition est équivalente à la suivante : 



(3) C; £, -+- \r, yi 2 — AC/- 2 =o. 



IV. Il suit de là que dans le cas où la surface (S) engendre une famille 

 de Lamé, l'équation (2) se réduit à 



AC 2 ï 2 ^ + A 2 Co 2 ^-A 2 C^+M ? = o. 

 - du dv dp. 



Si une fonction 9 satisfait à cette équation, — y y satisfait aussi; donc, on 

 peut trouver sur (S) une infinité de réseaux harmoniquement conjugués au 

 réseau des lignes de courbure, ces réseaux étant tels que les deux familles 

 qui composent chacun d'eux engendrent des congruences normales. 



Cette propriété caractérise les familles de Lamé; il suffit même de savoir 

 qu'une surface (S) dépendant d'un paramètre possède un réseau harmoni- 

 quement conjugué au réseau des lignes de courbure et tel que chacune des 

 deux familles qui le composent engendre une congruence normale pour 

 pouvoir affirmer que les surfaces (S) forment une famille de Lamé. Alors, 



