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en effet, l'équation (2) admet deux solutions égales et de signes contraires 

 et la relation (3) est vérifiée. 



En particulier, si les deux familles d'asymptotiques engendrent des 

 congruences normales, la surface (S) engendre une famille de Lamé. Ce 

 théorème a été établi récemment par M. Kéraval (Comptes rendus, séance 

 du 17 novembre 1913). 



V. Supposons qu'une surface (S) engendre une famille de Lamé et 

 prenons pour u et v les paramètres des deux familles de Lamé qui forment 

 avec la première un système orthogonal. Si l'on adopte les notations de 

 M. Darboux (Leçons sur les systèmes orthogonaux, Livre II, Chap. II), 

 l'équation (2) se réduit à la suivante : 



dlog-y _ dlogH dlogH, 



dp-, dp., dpi 



L'intégrale de cette équation est 



H 2 



?= ÎF A(p ' Pl) " 



Par suite, l'équation (1) peut s'écrire 

 (4) $ = 5J»(P.P.>- 



VI. Les deux familles d'asymptotiques ont pour équations différentielles 



±L --4-./ H iV 

 dp V H,f5. 2 , 



En exprimant que ces équations sont du type (4), on obtient la relation 

 qui caractérise les familles de Lamé considérées par M. Kéraval 



11% 



= — A(p, p,) 



Si l'on tient compte des formules (A) (Ouvrage cité, p. 188), on déduit 



de là 



2 



1 . > ( p . p 1 ) , , 



gjH -fît — = M(p, p,)- 



[x(p, 0,) est 7^0, car, dans le cas contraire, les surfaces (S) seraient des 



