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vaut à trouver un changement de variables 



(3) X i= lit\x,z,p), Z = Ç(t\x, s ,p), P i =T SSi (t\x,z,p), T = <, 

 qui ramène l'équation de Pfaff 



n 



(4) dz— Spidxt— Wdt — 

 à la forme canonique 



n 



(5) dZ—^PidKt — o. 



L'existence de tels changements de variables met en évidence l'existence 

 de deux groupes en t, z, ce,, ...,x n ,p,, ...,p„ laissant invariante l'équa- 

 tion (4) : le groupe le plus général (G) qui possède cette propriété, et le 

 groupe (g) qui laisse invariante toute solution de (4), à n -+- i dimensions. 

 Les équations de définition de (G) sont rationnelles; de (g) on connaît sa 

 transformation infinitésimale générale, qui est A.K/, À étant une fonction 

 arbitraire de t, z, x,, . . ., cc, n p,, . . ., p n . Le problème se réduit à trouver 

 les invariants de (g)- Enfin ceux-ci sont transformés par (G) suivant un 

 groupe dont la structure est celle du groupe général des transformations de 

 contact en Z, X, , . . ., X„. 



Si l'équation (i) est spéciale, son mode de spécialité sera caractérisé par 

 un groupe spécifique (G ). qui est le groupe le plus restreint, à équations de 

 définition rationnelles, qui soit contenu dans (G) et contienne (g)', 

 le groupe de rationalité sera l'un de ceux qui indiquent comment (G ) 

 transforme les invariants de (g). 



L'existence d'une transformation (3), dans laquelle £,, '(, trr,- se réduisent 

 respectivement à x t , s, p h pour t = t , permet de montrer que tout système 

 différentiel rationnel admettant pour solution une transformation canoni- 

 sante (3) est invariant par le groupe spécifique; et qu'un tel système, s'il 

 est de degré de généralité minimum, est un système automorphe dont le 

 groupe a la structure du groupe de rationalité, et qui n'admet, en x h z, p h t 

 aucun groupe plus général que le groupe spécifique. 



Plus généralement, toute propriété spéciale de (i), à caractère rationnel, 

 par exemple l'existence d'autres équations aux dérivées partielles, d'ordre 

 quelconque, rationnelles, qui soient comparables avec ,(i) sans en être 

 des conséquences, entraîne la rationalité d'un groupe contenu dans (G) et 



