SÉANCE DU I er DÉCEMBRE IC)l3. Io55 



contenant {g); et, par suite, l'existence d'un système automorphe rationnel 

 déterminant des transformations (3) particulières. 



Le groupe spécifique et les groupes de rationalité qui lui sont associés 

 traduisent donc complètement tous les caractères spéciaux d'une équa- 

 tion (i) particulière quelconque. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques propriétés asymptotiques des 

 polynômes. Note de M. Serge Bkrnsteix, présentée par M. Emile 

 Picard. 



I. Dans plusieurs problèmes d'analyse on est amené à rechercher quelle 

 est l'amplitude minimade l'oscillation d'un polynôme de degré donné dans 

 un intervalle donné, s'il doit satisfaire à certaines conditions déterminées. 

 Les plus simples de ces questions ont été traitées par Tchebyscheff et ses 

 élèves: Zolotareff et A. et W. Markoff; et toutes les fois où la solution a 

 pu être donnée explicitement, elle s'exprime au moyen du polynôme de 

 Tchebyscheff cosre arc cos;r. Pris dans toute sa généralité le problème pré- 

 sente de très grandes difficultés; mais heureusement le cas le plus inté- 

 ressant pour la théorie des fonctions, celui où le degré n du polynôme croit 

 indéfiniment, peut être traité facilement. Il suffit de construire des expres- 

 sions asymptotiques des polynômes oscillateurs (') de genre supérieur à zéro 

 qui dépendent de plusieurs paramètres arbitraires. A cet etïet, nous résol- 

 vons d'abord le problème suivant : 



Déterminer l 'expression asymptotique du polynôme ( 2 ) H (.a?) de degré n qui 

 s'écarte le moins possible de zéro dans l'intervalle ( — i, -+- 1), et la valeur 

 asymptodque EVp son écart maximum, sifl'on a H(.r) = S(x). R(#), où 



R(x) =4r A + b t x"- i -h...-hb /n S{x) = x n - h 4- p t a;"-*-' +...-(- />„_/„ 



R(r) étant un polynôme arbitraire donné (à coefficients réels) qui ne 

 s'annule pas sur le segment ( — i , -+- 1 ). 



(') Voir mon Mémoire des Acta mathematica, t. XXXVII. 



(■) Ce problème est à rapprocher du problème de la détermination de la fraction 



S (x) 

 H(.r) = — — -, qui s'écarte le moins de zéro, résolu par Tchebyscheff ( Œuvres, l. I, 



sur les questions de minima. etc. ). 



