Io56 ACADÉMIE DES SCIEMCES. 



En désignant par a, , « 2 , . . . , a h les racines de R(a;) = o, on trouve 



u, \ («1-+- \f<*\ — ')• • • («/. + v^a — O , » « , . 



H(x)rvj - — )| _ 1 V : — 2 -cos(«<p — o, — b 2 — ... — d/ t ), 



ou coscp = ,r, coso,= » de sorte mie 



» x — rt, * 



(«, + v/ (7 i — '). • •("/,+ V 7 "/, — ') 

 (') E = ^TT-i 



(le signe devant le radical est toujours tel que | a,-+- \]a] — 1 1 > i). 



II. On peut profiler de l'indétermination des {h -+- i ) paramètres dans 

 X H(a?) pour la résolution de différentes questions. Ainsi on pourra calculer 

 la valeur asymptotique E du minimum de l'écart dans l'intervalle 

 ( — i , -H i ) du polynôme P(;r) de degré n assujetti aux conditions 

 P(rt,) = A", P'( a <) = A' ( , . . . , P l *> (a t ) = A l t k> en des points quelconques a,- 

 extérieurs au segment ( — i, -+- i ). Pour éviter des formules compliquées, 

 considérons seulement quelques exemples simples : 



1. Soit P(«i) = i, P(« 2 ) = o, où «,> i, a 2 >i;ona 



_ 2[g|ft 3 — i -+- \/{a\ — i) (a; — i)] 



E = 



|aj— «s| ( «1 + Sl' a \ — ' )" 



2. SoitP(a) = i,P'(» = o, P"(a) = o; on a 



4/i 2 (« 2 — i) 

 = / — t . . . • 



( a -t- \/a 2 — i )" 



III. La même idée pourra être utilisée, lorsqu'on se donne plusieurs des 

 coefficients de P(a?). Je me bornerai à résoudre le problème suivant : 



Déterminer la valeur asymptoliq ne E du minimum de i écart dans l'inter- 

 valle ( — i , -h i) du polynôme de degré n 



P (x) = x n -t- <7, -r"-' + t7 2 x»- 2 + . . . + a k x"- k -h p\ x n ~ k M -l- . . . -t- p„ . k , 

 où a, , <r 2 , . . ., a A sont des constantes données. 

 Si k eslpair, on a 



E = 





""'(I) 1 ' 



