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valeurs de x appartenant à (a, (3), les dérivées de 9 admettent la limitation 



(1) 



d" 



dœ n 



< M 



r(À/Q 



T étant la fonction eulérienne ('). Toute fonction de classe donnée pourra 

 donc être considérée comme appartenant à une classe supérieure (-'). Les 

 fonctions de classe 1 sont les fonctions analytiques; les fonctions de classe 



A < 1 sont des fonctions entières dont l'ordre est au plus égal à = • 



La définition peut s'étendre au cas de p variables x { ,x 2 , ...,cc : si la 

 fonction $(a?,, a? 2 , ..., x p ), indéfiniment dérivable dans un domaine <©, est 

 telle qu'on ait, en tout point de c£>, 



^«,-t-H 3 -K. 



',a> 



d.r'[< <)jc"f 



dafy 



< M 



r0. l , ll )YQ. i n,)...Ta p n p ) 

 \\';<li" 2 -...\V;,r 



nous dirons que *t> est, dans le domaine 09 et par rapport à l'ensemble des 

 variables x, , x„, . . . , x p , de classe A, en x , , A, en ,r 2 , ...,~k p en x p . Si À est le 

 plus grand des nombres A,, X 2S ..., A /M nous pourrons dire simplement que 

 $ est de classe A en (x { , x. 2 , . . . , x p ) . 



Il nous suffit d'envisager les propriétés des fonctions de classe ^1; elles se 

 reproduisent par les opérations algébriques élémentaires : multiplication, 

 élévation aux puissances. Plus généralement, on peut former des fonctions 

 composées : une fonction W(u ( , ..., u k ) de classe A en («,, ..., u k ), dans 

 laquelle on remplace «,, ..., u k par des fonctions de classe A en (a?,, ..., x p ) 

 devient elle-même de classe A en (a?,, ..., x p ) ( 3 ). 



cette classification concerne les fonctions discontinues (à part celles de classe 0, qui 

 sont toutes les fonctions continues), la confusion paraît impossible, surtout si l'on 

 ajoute les mots indéfiniment dérivables (que nous sous-entendons dans la suite de 

 celle Note). Voir aussi Holmgren, Arkivfôr mal., 1908. 



d n <d r /4 X» 



(*) A est supposé positif, mais la limitation — £ < M -r-j^ , équivalente à (1), per- 

 mettrait de supposer A négatif : les fondions de classe négative seraient alors des 

 fonctions entières d'ordre < i. 



( 2 ) Ceci est une conséquence delà définition, telle que nous l'avons donnée, et qui 

 est commode pour l'objet que nous avons en vue. Mais on pourrait se proposer une 

 définition plus précise et, par exemple, après avoir pris pour chaque valeur de x la 



lo CT I <p'"' (x) I 



plus friande limite de la suite — ^-f — > envisager la borne supérieure L de l'en- 



nlogn 



semble des nombres ainsi trouvés (lequel peut d'ailleurs se réduire au seul 

 nombre L) : on a A t L. 



( 3 ) Ce résultat, tout à fait classique pour A— 1 (fonctions analytiques), se trouve 

 démontré dans ma Thèse pour À = 2 [Paris, Gaulhier-Villars, 1 gi 3, et Journal de 



