SÉANCE DU 8 DÉCEMBRE I9l3. 1123 



2. On connaît le lien étroit qui existe entre la nature d'une équation aux 

 dérivées partielles du type elliptique nu parabolique (') et la nature des solu- 

 tions : étant données les équations linéaires, à deux variables x et y, 



(E) /• -t- t = ap-t- bq + cz+f. 



(P) r — q = ap-+cz+f. 



si les coefficients a, b, c, y sont des fonctions de x et y analytiques en x, ou 

 en y, ou bien en (x, y) dans le type elliptique (E), analytiques en x, ou de 

 classe 2 en y dans le type parabolique (P), il en est de même respectivement 

 pour les solutions régulières de ces équations, c'est-à-dire continues ainsi que 

 leurs dérivées du premier ordre et celles des dérivées du second ordre qui 

 figurent dans l'équation. 



La considération des fonctions de classe donnée va nous permettre de 

 généraliser ces résultats. Dans les énoncés qui vont suivre, a et p désigne- 

 ront deux nombres positifs et y sera le plus petit des deux : nous aurons 

 toujours a et [3 > i pour le type -elliptique, a ^ i et fi J i pour le type parabo- 

 lique. 



Cela posé, soit une région &. du plan où les coefficients a, b, c, f des 

 équations (E) ou (P) sont, par rapport l'ensemble (a;, y), ou de classe a 

 en x et continus en y, ou de classe j3 en y et continus en x, ou de classe a 

 en x et fi en y : toute solution de (E) ou de (P), régulière dans &, est de 

 même nature que les coefficients. 



Envisageons maintenant les équations 



(E,) r + *=F(.r, y, z. r . q), 



r — q=f{x.y,z.p)\ 



Liouville, tgi3, p. 3oo-!\~j2; la fin sera publiée en jqk'i. Dans la Thèse, je signale une 

 modification à une démonstration : page 181, la formule (12) doit être dérivée par 

 rapport à x. Cette modification figurera dans le Journal de Liouville]. 



(') Citons les travaux de MM. Picard, Holmgren, Bernstein, etc. Pour le type para- 

 bolique linéaire, voir Journal de Liouville, 1914» p. 4 ' 7 sqq. Cf. également Comptes 

 rendus, 28 octobre 1912 et 17 février igi3. Je profile de l'occasion pour ajouter quel- 

 ques mots à la note ('), page 029 de cette dernière Communication : ligne 4, après : 

 f=z o, il faut ajouter :c<o(ou so, ou^oaux points où b jz£ o); ligne i3, avant : 

 valeurs extrêmes (il s'agit ici du maximum positif et du minimum négatif), ajouter : 

 à un facteur près indépendant de la solution. Les contours dont il est question dans 

 celte note doivent être dans certains cas suffisamment petits : d'ailleurs tout ceci se 

 voit aisément par la méthode de MM. Picard et Paraf ( voir le paragraphe 18 de ma 

 Thèse et aussi, à un autre point de vue, Picojje, Lincei, octobre 1913). 



